Вариант 1. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точки P, Q, R расположены следующим образом: P — середина ребра AB, Q — середина ребра BC, R — точка на ребре DD₁, причём DR : RD₁ = 2 : 1. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью (PQR). Определите его вид.

Из условия можно определить сечение как многоугольник, последовательно пересекающий грани параллелепипеда. Обозначим S точку пересечения плоскости с AD, U — с BB₁, V — с B₁C₁, W — с C₁D₁.

Для проверки и построения возьмём произвольный прямоугольный параллелепипед с координатами A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1,1,0), D=(0,1,0), а верхние вершины имеют координату z=1. Тогда P=(1/2,0,0), Q=(1,1/2,0), R=(0,1,2/3). Уравнение плоскости через эти точки: 4x−4y+9z=2.

На рёбрах получаем S=(0,1/2,0), U=(1,0,2/3), V=(1,1/4,1), W=(3/4,1,1). Поэтому граница сечения проходит в порядке P—Q—U—V—W—R—S—P. Это семиугольник.

На схеме рёбра, не лежащие на видимых гранях, показаны пунктиром; рисунок схематический.

Ответ: сечение — семиугольник PQUVWRS.