Вариант 1. В параллелограмме ABCD \(\overrightarrow{AB}=(2;5)\), \(\overrightarrow{AD}=(3;-4)\). Точки M и N лежат на сторонах BC и CD соответственно, причём BM = MC, CN : ND = 3 : 1. а) Найдите координаты вектора \(\overrightarrow{MN}\). б) Запишите разложение вектора \(\overrightarrow{MN}\) по координатным векторам \(\vec i\) и \(\vec j\). в) Найдите длину вектора \(\overrightarrow{AC}\).

Обозначим \(\overrightarrow{AB}=\vec b=(2;5)\), \(\overrightarrow{AD}=\vec d=(3;-4)\). В параллелограмме \(\overrightarrow{BC}=\vec d\) и \(\overrightarrow{DC}=\vec b\).

1. Так как M — середина BC, то \(\overrightarrow{BM}=\frac12\vec d\).
2. Из отношения CN : ND = 3 : 1 следует \(\overrightarrow{CN}=\frac34\overrightarrow{CD}=-\frac34\vec b\).
3. По правилу сложения векторов: \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}=-\frac12\vec d+\vec d-\frac34\vec b=\frac12\vec d-\frac34\vec b\). Тогда \(\overrightarrow{MN}=\frac12(3;-4)-\frac34(2;5)=(0;-\frac{23}{4})\).
4. Разложение по координатным векторам: \(\overrightarrow{MN}=0\vec i-\frac{23}{4}\vec j\).
5. Диагональ \(\overrightarrow{AC}=\vec b+\vec d=(5;1)\), поэтому её длина равна \(\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}\).

Ответ: а) \((0;-\frac{23}{4})\); б) \(-\frac{23}{4}\vec j\); в) \(\sqrt{26}\).