Вариант 1. В тетраэдре DABC точки M и N — середины рёбер AB и BC соответственно. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M, N и точку K, лежащую на ребре DC, где DK : KC = 1 : 2. Определите вид полученного сечения (треугольник, четырёхугольник и т. д.).

Обозначим через T точку пересечения секущей плоскости с ребром AD.

В грани ABC плоскость пересекает её по отрезку MN. В грани BCD линия сечения проходит через N и K, поэтому это отрезок NK. В грани ACD она проходит через K и пересекает ребро AD в точке T. Наконец, в грани ABD часть сечения — отрезок TM.

Чтобы определить положение T, используем подобие треугольников в грани ACD: поскольку плоскость пересекает ребро CD в K, продолжение сечения пересекает AD в T. Из условия DK:KC = 1:2 следует DK/DC = 1/3, поэтому AT:AD = 2/3. Следовательно, T лежит на AD и AT:TD = 2:1.

Порядок вершин сечения: M—N—K—T. Для проверки расположения точек на схеме можно задать координаты A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(0,1,0), D=(0,0,1): тогда M=(1/2,0,0), N=(1/2,1/2,0), K=(0,1/3,2/3), T=(0,0,2/3).

Ответ: сечение — четырёхугольник MNKT.