Вариант 1. Высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равна 6 см и делит гипотенузу на отрезки, один из которых больше другого на 5 см. Найдите стороны треугольника. В каком отношении данная высота делит площадь треугольника?

Краткая запись:

• Высота (h): 6 см
• Отрезки гипотенузы (x, x+5)
• Найти: стороны треугольника (a, b), отношение площадей (S1/S2) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим отрезки гипотенузы. Пусть один отрезок равен \( x \) см, тогда другой \( x + 5 \) см. По свойству прямоугольного треугольника: \( h^2 = x · (x+5) \).
   \( 6^2 = x(x+5) \)
   \( 36 = x^2 + 5x \)
   \( x^2 + 5x - 36 = 0 \)
   Решаем квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 5^2 - 4 · 1 · (-36) = 25 + 144 = 169 \). \( √{D} = 13 \).
   \( x_1 = (-5 + 13) / 2 = 8 / 2 = 4 \) см.
   \( x_2 = (-5 - 13) / 2 = -18 / 2 = -9 \) (не подходит, так как длина не может быть отрицательной).
   Таким образом, отрезки гипотенузы равны 4 см и 4 + 5 = 9 см.
2. Шаг 2: Находим стороны треугольника. Гипотенуза \( c = 4 + 9 = 13 \) см.
   Сторона \( a \), прилежащая к отрезку 4 см: \( a^2 = 4 · 13 = 52 \). \( a = √{52} = 2√{13} \) см.
   Сторона \( b \), прилежащая к отрезку 9 см: \( b^2 = 9 · 13 = 117 \). \( b = √{117} = 3√{13} \) см.
3. Шаг 3: Находим отношение, в котором высота делит площадь. Площадь всего треугольника \( S = ½ · a · b = ½ · (2√{13}) · (3√{13}) = ½ · 6 · 13 = 39 \) см².
   Площадь можно также вычислить как \( S = ½ · c · h = ½ · 13 · 6 = 39 \) см².
   Высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника с основаниями 4 см и 9 см и общей высотой 6 см.
   Площадь первого треугольника \( S_1 = ½ · 4 · 6 = 12 \) см².
   Площадь второго треугольника \( S_2 = ½ · 9 · 6 = 27 \) см².
   Отношение площадей \( S_1 : S_2 = 12 : 27 \). Сокращаем на 3: \( 4 : 9 \).

Ответ: Стороны треугольника равны \( 2√{13} \) см, \( 3√{13} \) см и 13 см. Высота делит площадь в отношении 4:9.