Вариант 1, Задача 2: Дано: AB и AC — касательные. Доказать: AO — биссектриса \(\angle BAC\).

Решение:

Рассмотрим два треугольника: \(\triangle ABO\) и \(\triangle ACO\).

1. \( AO \) — общая сторона для обоих треугольников.
2. \( OB \) и \( OC \) — радиусы окружности, проведённые в точки касания. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \(\angle ABO = 90^{\circ}\) и \(\angle ACO = 90^{\circ}\).
3. \( AB \) и \( AC \) — касательные к окружности. По свойству касательных, проведённых из одной точки, их длины равны: \( AB = AC \).
4. \( OB = OC \) — радиусы окружности.
5. Таким образом, \(\triangle ABO\) и \(\triangle ACO\) являются прямоугольными треугольниками с равными катетами ( \( OB = OC \) ) и равными гипотенузами ( \( AO \) — общая).
6. По двум катетам (или по гипотенузе и катету) \(\triangle ABO = \triangle ACO\).
7. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: \(\angle BAO = \angle CAO\).
8. Угол \( \angle BAC = \angle BAO + \angle CAO \). Так как \(\angle BAO = \angle CAO\), то \( AO \) делит угол \( \angle BAC \) пополам.
9. Следовательно, \( AO \) является биссектрисой \(\angle BAC\).

Доказано.