Вариант 1 1. Два треугольника. 2. Итоговая контрольная работа по геометрии в 8 классе Найдите угол А, если угол C = 39°. 3. ∠ ABC вписан в окружность. Градусная мера соответствующей ему дуги равна 140°. Найдите ∠ABC 4. Найди тупой угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла А образует со стороной ВС угол равный 27°. 5. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 10 см, основания 10 см и 22 см. Найдите площадь трапеции. 6. В треугольнике АВС прямая MN, параллельная стороне АС, делит сторону ВС на отрезки BN=20 см и NC=10 см, а сторону АВ на ВМ и АМ. Найдите длину отрезка MN, если АС=15 см. 7. Укажите номера неверных утверждений. Ответ запишите без запятых, скобок, пробелов. 1. Градусная мера вписанного угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. 2. Диагонали равнобедренной трапеции равны. 3. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то такие треугольники равны. Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность.

Решение:

1. Треугольники

Дано: Прямоугольный треугольник. Катеты равны 8 см и 15 см.

Найти: Площадь треугольника.

Решение: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

\[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \]

Подставим значения:

\[ S = \frac{1}{2} \times 8 \text{ см} \times 15 \text{ см} = 4 \text{ см} \times 15 \text{ см} = 60 \text{ см}^2 \]

Ответ: 60 см²

2. Угол А

Дано: Угол C = 39°.

Найти: Угол А.

Решение: В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.

\[ \angle A + \angle C = 90^{\circ} \]

\[ \angle A = 90^{\circ} - \angle C = 90^{\circ} - 39^{\circ} = 51^{\circ} \]

Ответ: 51°

3. Угол ABC

Дано: Угол ABC вписан в окружность. Градусная мера дуги, на которую он опирается, равна 140°.

Найти: Угол ABC.

Решение: Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

\[ \angle ABC = \frac{1}{2} \times \text{градусная мера дуги} \]

\[ \angle ABC = \frac{1}{2} \times 140^{\circ} = 70^{\circ} \]

Ответ: 70°

4. Тупой угол параллелограмма

Дано: Параллелограмм ABCD. Биссектриса угла А образует со стороной ВС угол 27°.

Найти: Тупой угол параллелограмма.

Решение:

Пусть биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке К. Тогда, по свойству биссектрисы, ∠ BАK = ∠ KАD.

Так как ABCD – параллелограмм, то АD || ВС. Следовательно, ∠ AKD = ∠ KАD (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AK).

Таким образом, ∠ BАK = ∠ AKD.

Если биссектриса угла А образует со стороной ВС угол 27°, это может означать, что ∠ BAK = 27° или ∠ AKB = 27°.

Случай 1: ∠ BAK = 27°.

Тогда ∠ KАD = 27°. Угол А = ∠ BАD = ∠ BAK + ∠ KАD = 27° + 27° = 54°.

Так как ABCD – параллелограмм, то сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

∠ ABC = 180° - ∠ BАD = 180° - 54° = 126°.

Тупой угол параллелограмма равен 126°.

Случай 2: ∠ AKB = 27°.

Тогда ∠ KАD = 27° (накрест лежащие).

Угол А = ∠ BАD = ∠ BAK + ∠ KАD.

В треугольнике ABK: ∠ ABK + ∠ BAK + ∠ AKB = 180°.

∠ ABC + ∠ BAK + 27° = 180°.

Также, ∠ BАK = ∠ KАD = 27°.

∠ ABC + 27° + 27° = 180° => ∠ ABC = 180° - 54° = 126°.

Угол А = 180° - 126° = 54°.

В обоих случаях получаем, что один из углов равен 54°, а другой — 126°. Тупой угол равен 126°.

Ответ: 126°

5. Площадь трапеции

Дано: Равнобедренная трапеция. Боковая сторона (c) = 10 см. Основания (a) = 10 см, (b) = 22 см.

Найти: Площадь трапеции (S).

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{a+b}{2} \times h \]

где h – высота трапеции.

Чтобы найти высоту, опустим перпендикуляры из вершин меньшего основания на большее. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне (10 см).

Основание этого треугольника равно разности полусумм оснований, деленной на 2, или разности оснований, деленной на 2:

\[ x = \frac{b-a}{2} = \frac{22 \text{ см} - 10 \text{ см}}{2} = \frac{12 \text{ см}}{2} = 6 \text{ см} \]

Теперь найдем высоту (h) по теореме Пифагора:

\[ c^2 = x^2 + h^2 \]

\[ h^2 = c^2 - x^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64 \]

\[ h = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \]

Теперь вычислим площадь:

\[ S = \frac{10 \text{ см} + 22 \text{ см}}{2} \times 8 \text{ см} = \frac{32 \text{ см}}{2} \times 8 \text{ см} = 16 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 128 \text{ см}^2 \]

Ответ: 128 см²

6. Длина отрезка MN

Дано: Треугольник ABC. MN || AC. BN = 20 см, NC = 10 см, AC = 15 см.

Найти: Длину отрезка MN.

Решение:

Так как MN || AC, то треугольник MBN подобен треугольнику ABC (по двум углам: ∠ B – общий, ∠ BMN = ∠ BAC как соответственные углы при параллельных прямых MN и AC и секущей AB).

Отношение подобия равно отношению соответствующих сторон:

\[ \frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC} \]

Найдем длину BC:

\[ BC = BN + NC = 20 \text{ см} + 10 \text{ см} = 30 \text{ см} \]

Теперь найдем MN:

\[ MN = AC \times \frac{BN}{BC} = 15 \text{ см} \times \frac{20 \text{ см}}{30 \text{ см}} = 15 \text{ см} \times \frac{2}{3} = 10 \text{ см} \]

Ответ: 10 см

7. Неверные утверждения

1. Градусная мера вписанного угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

Неверно. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

2. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

Верно. Это одно из свойств равнобедренной трапеции.

3. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то такие треугольники равны.

Неверно. По второму признаку равенства треугольников, если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. По третьему признаку, если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого, то такие треугольники равны. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), если сторона и два прилежащих угла одного треугольника равны стороне и двум прилежащим углам другого, то такие треугольники равны. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то и третьи углы равны. Это признак подобия, а не равенства.

4. Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность.

Верно. Центром описанной окружности прямоугольника является точка пересечения его диагоналей.

Ответ: 13