Вариант 1 1. Найдите значение выражения: а) 4¹¹ ⋅ 4^-9; б) 6^-5 : 6^-3; в) (2^-2)³. 2. Упростите выражение: а) (x^-3)⁴ ⋅ x¹⁴; б) 1,5a²b^-3 ⋅ 4a^-3b⁴. 3. Преобразуйте выражение: а) (¹/₃ ⋅ x^-1y²)^-2; б) (3x^-1 / 4y^-3)^-1 ⋅ 6xy². 4. Вычислите: (3^-9 ⋅ 9^-4) / 27^-6. 5. Представьте произведение (4,6 ⋅ 10⁴) ⋅ (2,5 ⋅ 10^-6) в стандартном виде числа. 6. Представьте выражение (a^-1 + b^-1) (a + b)^-1 в виде рациональной дроби. 7. Запишите все делители числа: а) 29, б) 74.

Решение:

1. 1. Вычисление значений выражений:
   1. \[ 4^{11} \cdot 4^{-9} = 4^{11+(-9)} = 4^2 = 16 \]
   2. \[ 6^{-5} : 6^{-3} = 6^{-5-(-3)} = 6^{-5+3} = 6^{-2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36} \]
   3. \[ (2^{-2})^3 = 2^{(-2) \cdot 3} = 2^{-6} = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64} \]
2. 2. Упрощение выражений:
   1. \[ (x^{-3})^4 \cdot x^{14} = x^{(-3) \cdot 4} \cdot x^{14} = x^{-12} \cdot x^{14} = x^{-12+14} = x^2 \]
   2. \[ 1.5a^2b^{-3} \cdot 4a^{-3}b^4 = (1.5 \cdot 4) \cdot (a^2 \cdot a^{-3}) \cdot (b^{-3} \cdot b^4) = 6 \cdot a^{2+(-3)} \cdot b^{-3+4} = 6a^{-1}b^1 = \frac{6b}{a} \]
3. 3. Преобразование выражений:
   1. \[ \left( \frac{1}{3} \cdot x^{-1}y^2 \right)^{-2} = \left( 3^{-1}x^{-1}y^2 \right)^{-2} = (3^{-1})^{-2} \cdot (x^{-1})^{-2} \cdot (y^2)^{-2} = 3^{(-1) \cdot (-2)} \cdot x^{(-1) \cdot (-2)} \cdot y^{2 \cdot (-2)} = 3^2x^2y^{-4} = \frac{9x^2}{y^4} \]
   2. \[ \left( \frac{3x^{-1}}{4y^{-3}} \right)^{-1} \cdot 6xy^2 = \frac{4y^{-3}}{3x^{-1}} \cdot 6xy^2 = \frac{4}{3} \cdot \frac{y^{-3}}{x^{-1}} \cdot 6xy^2 = \frac{4}{3} \cdot y^{-3} \cdot x \cdot 6xy^2 = \frac{4 \cdot 6}{3} \cdot x^{1+1} \cdot y^{-3+2} = 8x^2y^{-1} = \frac{8x^2}{y} \]
4. 4. Вычисление значения выражения:

   Сначала преобразуем степени:

   • \[ 9^{-4} = (3^2)^{-4} = 3^{-8} \]
   • \[ 27^{-6} = (3^3)^{-6} = 3^{-18} \]

   Теперь подставим в выражение:

   \[ \frac{3^{-9} \cdot 9^{-4}}{27^{-6}} = \frac{3^{-9} \cdot 3^{-8}}{3^{-18}} = \frac{3^{-9+(-8)}}{3^{-18}} = \frac{3^{-17}}{3^{-18}} = 3^{-17 - (-18)} = 3^{-17+18} = 3^1 = 3 \]
5. 5. Представление произведения в стандартном виде:

   Сначала перемножим числа:

   \[ (4.6 \cdot 10^4) \cdot (2.5 \cdot 10^{-6}) = (4.6 \cdot 2.5) \cdot (10^4 \cdot 10^{-6}) \]
   • \[ 4.6 \cdot 2.5 = 11.5 \]
   • \[ 10^4 \cdot 10^{-6} = 10^{4+(-6)} = 10^{-2} \]

   Таким образом, произведение равно:

   \[ 11.5 \cdot 10^{-2} \]

   Для представления в стандартном виде число должно быть от 1 до 10. Сдвинем запятую:

   \[ 11.5 \cdot 10^{-2} = 1.15 \cdot 10^1 \cdot 10^{-2} = 1.15 \cdot 10^{1+(-2)} = 1.15 \cdot 10^{-1} \]
6. 6. Представление выражения в виде рациональной дроби:

   Сначала раскроем скобки:

   \[ (a^{-1} + b^{-1})(a + b)^{-1} = \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \left( \frac{1}{a+b} \right) \]

   Приведем к общему знаменателю в первой скобке:

   \[ \left( \frac{b+a}{ab} \right) \left( \frac{1}{a+b} \right) \]

   Теперь перемножим дроби:

   \[ \frac{b+a}{ab(a+b)} \]

   Так как a+b = b+a, можем сократить:

   \[ \frac{1}{ab} \]
7. 7. Запись делителей числа:
   1. Делители числа 29:

      Число 29 является простым числом. Простые числа имеют только два делителя: 1 и само себя.

      • Делители: 1, 29
   2. Делители числа 74:

      Найдем делители числа 74:

      • 1 (так как любое число делится на 1)
      • 2 (так как 74 - четное число, 74 / 2 = 37)
      • 37 (37 - простое число)
      • 74 (любое число делится на само себя, 74 / 37 = 2)

      Делители: 1, 2, 37, 74