Вариант 1 1. Равнобедренный треугольник с основанием 8 см вписан в окружность радиуса 5 см. Найдите площадь этого треугольника и его боковую сторону. 2. Четырехугольник ABCD вписан в окружность с диаметром АС. Найдите углы четырехугольника, если $$\cup BC = 100°, \cup CD = 60°$$.

Решение:

Вариант 1

1. Равнобедренный треугольник:

• Дано: Основание $$a = 8$$ см, радиус описанной окружности $$R = 5$$ см.
• Найти: Площадь $$S$$, боковую сторону $$b$$.
• Решение:
1. Пусть $$a$$ - основание, $$b$$ - боковая сторона равнобедренного треугольника. $$R$$ - радиус описанной окружности.
2. Формула для радиуса описанной окружности: $$R = \frac{abc}{4S}$$, где $$a, b, c$$ - стороны треугольника. В нашем случае $$a=8$$, $$b=c$$.
3. Площадь $$S = \frac{1}{2} a h$$, где $$h$$ - высота.
4. Найдем высоту: $$h = \sqrt{b^2 - (a/2)^2}$$.
5. Подставим $$S$$ в формулу радиуса: $$R = \frac{a b^2}{4 \cdot \frac{1}{2} a h} = \frac{b^2}{2h}$$.
6. $$5 = \frac{b^2}{2 \sqrt{b^2 - (8/2)^2}} = \frac{b^2}{2 \sqrt{b^2 - 16}}$$.
7. $$10 \sqrt{b^2 - 16} = b^2$$.
8. Возведем в квадрат: $$100 (b^2 - 16) = b^4$$.
9. $$100b^2 - 1600 = b^4$$.
10. $$b^4 - 100b^2 + 1600 = 0$$.
11. Пусть $$x = b^2$$. Тогда $$x^2 - 100x + 1600 = 0$$.
12. Решим квадратное уравнение: $$x = \frac{-(-100) \pm \sqrt{(-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1600}}{2 \cdot 1} = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 6400}}{2} = \frac{100 \pm \sqrt{3600}}{2} = \frac{100 \pm 60}{2}$$.
13. $$x_1 = \frac{100 + 60}{2} = 80$$, $$x_2 = \frac{100 - 60}{2} = 20$$.
14. $$b^2 = 80$$ или $$b^2 = 20$$.
15. Если $$b^2 = 80$$, то $$b = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$$.
16. Если $$b^2 = 20$$, то $$b = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$.
17. Найдем высоту:
• Если $$b = 4\sqrt{5}$$, $$h = \sqrt{(4\sqrt{5})^2 - 16} = \sqrt{80 - 16} = \sqrt{64} = 8$$ см.
• Если $$b = 2\sqrt{5}$$, $$h = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 16} = \sqrt{20 - 16} = \sqrt{4} = 2$$ см.
18. Найдем площадь:
• Если $$h = 8$$ см, $$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32$$ см$$^2$$.
• Если $$h = 2$$ см, $$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2 = 8$$ см$$^2$$.
19. Проверим условие $$R = \frac{b^2}{2h}$$:
• Для $$b=4\sqrt{5}$$ и $$h=8$$: $$R = \frac{80}{2 \cdot 8} = \frac{80}{16} = 5$$ см. Подходит.
• Для $$b=2\sqrt{5}$$ и $$h=2$$: $$R = \frac{20}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5$$ см. Подходит.
20. Итак, у нас два возможных решения.

2. Четырехугольник ABCD:

• Дано: Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Диаметр $$AC$$. $$\cup BC = 100°$$, $$\cup CD = 60°$$.
• Найти: Углы четырехугольника.
• Решение:
1. Так как $$AC$$ - диаметр, то $$\angle ABC = 90°$$ и $$\angle ADC = 90°$$ (угол, опирающийся на диаметр).
2. Угол, опирающийся на дугу $$BC$$, равен половине этой дуги: $$\angle BAC = \frac{1}{2} \cup BC = \frac{1}{2} \cdot 100° = 50°$$.
3. Угол, опирающийся на дугу $$CD$$, равен половине этой дуги: $$\angle CAD = \frac{1}{2} \cup CD = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30°$$.
4. Угол $$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 50° + 30° = 80°$$.
5. Угол, опирающийся на дугу $$BAD$$, равен половине этой дуги. Дуга $$BAD = \cup BC + \cup CD = 100° + 60° = 160°$$.
6. $$\angle BCD = \frac{1}{2} \cup BAD = \frac{1}{2} • (360° - 100° - 60°) = \frac{1}{2} \cdot (360° - 160°) = \frac{1}{2} \cdot 200° = 100°$$.
7. Проверка: Сумма углов четырехугольника $$80° + 90° + 100° + 90° = 360°$$.

Ответ:

• 1. Два варианта:
• Боковая сторона $$4\sqrt{5}$$ см, площадь $$32$$ см$$^2$$.
• Боковая сторона $$2\sqrt{5}$$ см, площадь $$8$$ см$$^2$$.
• 2. $$\angle A = 80°$$, $$\angle B = 90°$$, $$\angle C = 100°$$, $$\angle D = 90°$$.