Вариант 1 1. Решите уравнение 4х^2 + 12х = 0. 2. Решите уравнение 4х^2 – 25 = 0. 3. Решите уравнение х^2 – 9x + 8 = 0. 4. Решите уравнение 2x^2 + 4x + 3 = 0. 5. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа. 6. Периметр прямоугольника равен 16 см, а его площадь 15 см². Найдите длины сторон прямоугольника 7. x+1 / 6 + 20 / (x-1) = 4;

Решение:

• 1. Уравнение 4х² + 12х = 0
  • Вынесем общий множитель 4х за скобки: 4х(х + 3) = 0
  • Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 4х = 0 или х + 3 = 0
  • Решаем полученные уравнения: х = 0 или х = -3
• 2. Уравнение 4х² – 25 = 0
  • Это разность квадратов: (2х)² - 5² = 0
  • Применяем формулу разности квадратов (a² - b²) = (a - b)(a + b): (2х - 5)(2х + 5) = 0
  • Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 2х - 5 = 0 или 2х + 5 = 0
  • Решаем полученные уравнения: 2х = 5 => х = 2.5; 2х = -5 => х = -2.5
• 3. Уравнение х² – 9x + 8 = 0
  • Решаем квадратное уравнение через дискриминант (D = b² - 4ac). Здесь a=1, b=-9, c=8.
  • D = (-9)² - 4 * 1 * 8 = 81 - 32 = 49
  • √D = 7
  • Находим корни по формуле x = (-b ± √D) / 2a:
  • x₁ = (9 + 7) / (2 * 1) = 16 / 2 = 8
  • x₂ = (9 - 7) / (2 * 1) = 2 / 2 = 1
• 4. Уравнение 2x² + 4x + 3 = 0
  • Решаем квадратное уравнение через дискриминант (D = b² - 4ac). Здесь a=2, b=4, c=3.
  • D = 4² - 4 * 2 * 3 = 16 - 24 = -8
  • Так как дискриминант отрицательный (D < 0), действительных корней у уравнения нет.
• 5. Произведение двух натуральных чисел
  • Пусть одно число равно х, тогда второе равно х + 6.
  • Их произведение: х(х + 6) = 187
  • Раскрываем скобки: х² + 6х = 187
  • Переносим все в одну сторону: х² + 6х - 187 = 0
  • Решаем квадратное уравнение через дискриминант (D = b² - 4ac). Здесь a=1, b=6, c=-187.
  • D = 6² - 4 * 1 * (-187) = 36 + 748 = 784
  • √D = 28
  • Находим корни:
  • x₁ = (-6 + 28) / (2 * 1) = 22 / 2 = 11
  • x₂ = (-6 - 28) / (2 * 1) = -34 / 2 = -17
  • Так как числа натуральные, выбираем положительный корень: х = 11.
  • Первое число: 11. Второе число: 11 + 6 = 17.
  • Проверка: 11 * 17 = 187.
• 6. Периметр и площадь прямоугольника
  • Пусть стороны прямоугольника равны a и b.
  • Периметр (P) = 2(a + b) = 16 см.
  • Площадь (S) = a * b = 15 см².
  • Из уравнения периметра: a + b = 16 / 2 = 8.
  • Выразим одну сторону через другую, например, b = 8 - a.
  • Подставим это в уравнение площади: a * (8 - a) = 15.
  • Раскроем скобки: 8a - a² = 15.
  • Перенесем все в одну сторону: a² - 8a + 15 = 0.
  • Решаем квадратное уравнение через дискриминант (D = b² - 4ac). Здесь a=1, b=-8, c=15.
  • D = (-8)² - 4 * 1 * 15 = 64 - 60 = 4.
  • √D = 2.
  • Находим корни:
  • a₁ = (8 + 2) / (2 * 1) = 10 / 2 = 5.
  • a₂ = (8 - 2) / (2 * 1) = 6 / 2 = 3.
  • Если одна сторона равна 5 см, то вторая сторона b = 8 - 5 = 3 см.
  • Если одна сторона равна 3 см, то вторая сторона b = 8 - 3 = 5 см.
• 7. Уравнение (x+1)/6 + 20/(x-1) = 4
  • Приведем к общему знаменателю (6(x-1)):
  • (x+1)(x-1) / (6(x-1)) + (20 * 6) / (6(x-1)) = 4
  • (x² - 1) / (6(x-1)) + 120 / (6(x-1)) = 4
  • (x² - 1 + 120) / (6(x-1)) = 4
  • (x² + 119) / (6x - 6) = 4
  • Перемножим крест-накрест: x² + 119 = 4(6x - 6)
  • x² + 119 = 24x - 24
  • Перенесем все в одну сторону: x² - 24x + 119 + 24 = 0
  • x² - 24x + 143 = 0
  • Решаем квадратное уравнение через дискриминант (D = b² - 4ac). Здесь a=1, b=-24, c=143.
  • D = (-24)² - 4 * 1 * 143 = 576 - 572 = 4.
  • √D = 2.
  • Находим корни:
  • x₁ = (24 + 2) / (2 * 1) = 26 / 2 = 13.
  • x₂ = (24 - 2) / (2 * 1) = 22 / 2 = 11.
  • Проверим, не обращают ли корни знаменатель в ноль. Знаменатель равен 6(x-1). При x=13, 6(13-1) = 6*12 = 72 (не ноль). При x=11, 6(11-1) = 6*10 = 60 (не ноль).

Ответ: 1. х=0, х=-3; 2. х=2.5, х=-2.5; 3. х=8, х=1; 4. Действительных корней нет; 5. Числа 11 и 17; 6. Стороны 3 см и 5 см; 7. х=13, х=11.