Вариант 1 1. Сторона основания прямоугольного параллелепипеда равна 2 см и 3 см, а диагональ - 7см. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда 2. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 5 см, а диагональ боковой грани 13 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 3. Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетом 6 и 8 см. Диагональ боковой грани, содержащей, гипотенузу треугольника, равна 26см. Найдите: высоту призмы, площадь боковой поверхности примы, площадь полной поверхности призмы. 4. №230 (из учебника Геометрия 10-11, Л.С.Атанасян)

Вариант 1

1. Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда

Дано:

Прямоугольный параллелепипед.

Стороны основания: \( a = 2 \text{ см}, b = 3 \text{ см} \).

Диагональ параллелепипеда: \( d = 7 \text{ см} \).

Найти:

Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \).

Решение:

1. Высоту параллелепипеда \( h \) можно найти из формулы диагонали: \( d^2 = a^2 + b^2 + h^2 \).
2. \( 7^2 = 2^2 + 3^2 + h^2 \)
3. \( 49 = 4 + 9 + h^2 \)
4. \( 49 = 13 + h^2 \)
5. \( h^2 = 49 - 13 = 36 \)
6. \( h = \sqrt{36} = 6 \text{ см} \).
7. Периметр основания: \( P = 2(a+b) = 2(2+3) = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см} \).
8. Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = P \cdot h = 10 \cdot 6 = 60 \text{ см}^2 \).

Ответ: 60 см².

2. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы

Дано:

Правильная четырехугольная призма.

Сторона основания: \( a = 5 \text{ см} \).

Диагональ боковой грани: \( d_{грани} = 13 \text{ см} \).

Найти:

Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \).

Решение:

1. Боковая грань правильной четырехугольной призмы — это прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника — сторона основания \( a \), а другая — высота призмы \( h \).
2. Диагональ боковой грани \( d_{грани} \) является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного стороной основания \( a \) и высотой призмы \( h \).
3. По теореме Пифагора: \( d_{грани}^2 = a^2 + h^2 \).
4. \( 13^2 = 5^2 + h^2 \)
5. \( 169 = 25 + h^2 \)
6. \( h^2 = 169 - 25 = 144 \)
7. \( h = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \).
8. Периметр основания: \( P = 4a = 4 \cdot 5 = 20 \text{ см} \).
9. Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = P \cdot h = 20 \cdot 12 = 240 \text{ см}^2 \).

Ответ: 240 см².

3. Прямая призма с основанием - прямоугольным треугольником

Дано:

Прямая призма.

Основание — прямоугольный треугольник с катетами \( k_1 = 6 \text{ см} \) и \( k_2 = 8 \text{ см} \).

Диагональ боковой грани (содержащей гипотенузу) \( d_{гип} = 26 \text{ см} \).

Найти:

Высоту призмы \( h \), площадь боковой поверхности \( S_{бок} \), площадь полной поверхности \( S_{полн} \).

Решение:

1. Найдем гипотенузу \( c \) прямоугольного треугольника основания по теореме Пифагора:
2. \( c^2 = k_1^2 + k_2^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)
3. \( c = \sqrt{100} = 10 \text{ см} \).
4. Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу, является диагональю прямоугольника, стороны которого — гипотенуза \( c \) и высота призмы \( h \).
5. По теореме Пифагора: \( d_{гип}^2 = c^2 + h^2 \).
6. \( 26^2 = 10^2 + h^2 \)
7. \( 676 = 100 + h^2 \)
8. \( h^2 = 676 - 100 = 576 \)
9. \( h = \sqrt{576} = 24 \text{ см} \).
10. Периметр основания: \( P = k_1 + k_2 + c = 6 + 8 + 10 = 24 \text{ см} \).
11. Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = P \cdot h = 24 \cdot 24 = 576 \text{ см}^2 \).
12. Площадь основания: \( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot k_1 \cdot k_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ см}^2 \).
13. Площадь полной поверхности: \( S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 576 + 2 \cdot 24 = 576 + 48 = 624 \text{ см}^2 \).

Ответ: высоту призмы 24 см, площадь боковой поверхности 576 см², площадь полной поверхности 624 см².

4. Задача №230

Решение:

Задача №230 из учебника Геометрия 10-11, Л.С.Атанасян.

Для решения данной задачи необходимо обратиться к тексту учебника.

Ответ: (Зависит от условия задачи №230 в учебнике).