Вариант 1 1. Упростите выражение (а+6)²-2а(3-2а). 2. Решите систему уравнений: 5x-2y=11, 4x-y=4. 3. а) Постройте график функции у=2х-2. б) Определите, проходит ли график функции через точку А(-10; -20). 4. Разложите на множители: a) 2ab³-2a³b⁴+6a²b²; б) x²-3x-3y-y². 5. Из пункта А вниз по реке отправился плот. Через 1 ч навстречу ему из пункта В, находящегося в 30 км от А, вышла моторная лодка, которая встретилась с плотом через 2 ч после своего выхода. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

Задание 1. Упрощение выражения

Для упрощения выражения \( (a+6)^2 - 2a(3-2a) \) раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[ (a+6)^2 - 2a(3-2a) = (a^2 + 12a + 36) - (6a - 4a^2) \]

\[ = a^2 + 12a + 36 - 6a + 4a^2 \]

\[ = (a^2 + 4a^2) + (12a - 6a) + 36 \]

\[ = 5a^2 + 6a + 36 \]

Ответ: \( 5a^2 + 6a + 36 \).

Задание 2. Решение системы уравнений

Система уравнений:

\[ \begin{cases} 5x - 2y = 11 \\ 4x - y = 4 \end{cases} \]

Выразим \( y \) из второго уравнения:

\[ y = 4x - 4 \]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[ 5x - 2(4x - 4) = 11 \]

\[ 5x - 8x + 8 = 11 \]

\[ -3x = 11 - 8 \]

\[ -3x = 3 \]

\[ x = -1 \]

Теперь найдем \( y \):

\[ y = 4(-1) - 4 = -4 - 4 = -8 \]

Ответ: \( x = -1, y = -8 \).

Задание 3. График функции

а) Построение графика функции \( y = 2x - 2 \)

Это линейная функция, график — прямая. Найдем две точки, через которые она проходит:

При \( x = 0 \), \( y = 2(0) - 2 = -2 \). Точка \( (0, -2) \).

При \( x = 1 \), \( y = 2(1) - 2 = 0 \). Точка \( (1, 0) \).

б) Проходит ли график через точку \( A(-10, -20) \)?

Подставим координаты точки \( A \) в уравнение функции:

\[ -20 = 2(-10) - 2 \]

\[ -20 = -20 - 2 \]

\[ -20 = -22 \]

Это равенство неверно, значит, точка \( A(-10, -20) \) не лежит на графике функции.

Ответ: а) График построен. б) Нет, не проходит.

Задание 4. Разложение на множители

а) \( 2ab^3 - 2a^3b^4 + 6a^2b^2 \)

Вынесем общий множитель \( 2ab^2 \):

\[ 2ab^2(b - a^2b^2 + 3a) \]

б) \( x^2 - 3x - 3y - y^2 \)

Сгруппируем слагаемые:

\[ (x^2 - y^2) - (3x + 3y) \]

Вынесем общий множитель \( -3 \) из второй скобки:

\[ (x - y)(x + y) - 3(x + y) \]

Вынесем общий множитель \( (x + y) \):

\[ (x + y)(x - y - 3) \]

Ответ: а) \( 2ab^2(b - a^2b^2 + 3a) \). б) \( (x + y)(x - y - 3) \).

Задание 5. Задача про плот и лодку

Дано:

• Скорость течения реки: \( v_т = 2 \) км/ч.
• Время движения плота до встречи: \( t_{плот} = 1 \) ч (до выхода лодки) + \( 2 \) ч (после выхода лодки) = \( 3 \) ч.
• Время движения лодки до встречи: \( t_{лодка} = 2 \) ч.
• Расстояние между пунктами А и В: \( S_{АВ} = 30 \) км.

Найти: собственную скорость лодки \( v_{лодка} \).

Решение:

Скорость плота равна скорости течения реки: \( v_{плот} = v_т = 2 \) км/ч.

Плот прошел расстояние \( S_{плот} = v_{плот} · t_{плот} = 2 · 3 = 6 \) км.

Лодка вышла из пункта В навстречу плоту. Скорость лодки по течению (так как она движется вниз по реке, как и плот) равна \( v_{лодка} + v_т \). Но по условию лодка идет навстречу плоту, значит, она идет против течения. Скорость лодки против течения: \( v_{лодка} - v_т \).

Расстояние, которое проплыла лодка: \( S_{лодка} = (v_{лодка} - v_т) · t_{лодка} = (v_{лодка} - 2) · 2 \) км.

Общее расстояние, которое прошли плот и лодка навстречу друг другу, равно расстоянию между А и В плюс расстояние, которое прошел плот до выхода лодки.

Пусть \( t \) - время от отправления плота до встречи. Плот шел \( t \) часов, лодка — \( t-1 \) час. Расстояние, пройденное плотом: \( 2t \). Расстояние, пройденное лодкой: \( (v_{лодка}-2)(t-1) \).

В момент встречи лодка и плот находились на расстоянии 30 км друг от друга. Условие встречи: сумма пройденных расстояний равна расстоянию между пунктами А и В.

Плот вышел из А. Через 1 час он оказался на расстоянии \( 2 · 1 = 2 \) км от А. В этот момент лодка вышла из В (30 км от А) навстречу плоту.

Пусть \( t' \) — время от выхода лодки до встречи. Тогда \( t' = 2 \) ч.

Плот к моменту выхода лодки прошел \( 2 · 1 = 2 \) км. Его положение от А: 2 км. Он продолжает двигаться со скоростью 2 км/ч.

Лодка вышла из В (30 км от А) навстречу плоту со скоростью \( v_{лодка} - 2 \) км/ч.

Через 2 часа после выхода лодки (то есть через \( 1 + 2 = 3 \) часа после выхода плота) они встретились.

Расстояние, которое прошел плот за 3 часа: \( S_{плот} = 2 · 3 = 6 \) км.

Расстояние, которое проплыла лодка за 2 часа: \( S_{лодка} = (v_{лодка} - 2) · 2 \) км.

В момент встречи плот находится на расстоянии 6 км от А. Лодка выходит из В (30 км от А). Они встретились через 2 часа после выхода лодки. Значит, лодка проплыла расстояние \( 30 - x \) км, а плот проплыл \( x \) км от А.

Рассмотрим движение относительно друг друга. Скорость сближения лодки и плота: \( (v_{лодка} - 2) + 2 = v_{лодка} \) км/ч. Это скорость сближения, если бы они встретились немедленно после выхода лодки.

Плот проплыл \( 2 · 1 = 2 \) км. Лодка выходит из В. Расстояние между ними \( 30 - 2 = 28 \) км.

Они сближаются со скоростью \( v_{лодка} - 2 + 2 = v_{лодка} \) км/ч.

Время до встречи после выхода лодки: \( t_{встречи} = \frac{28}{v_{лодка}} \) ч. По условию, это время равно 2 часа.

\[ \frac{28}{v_{лодка}} = 2 \]

\[ v_{лодка} = \(\frac{28}{2}\) = 14 \) км/ч.

Проверим: Скорость лодки \( 14 \) км/ч. Скорость лодки против течения \( 14 - 2 = 12 \) км/ч.

За 2 часа лодка проплывет \( 12 · 2 = 24 \) км.

Плот за 3 часа проплывет \( 2 · 3 = 6 \) км.

Общее расстояние \( 6 + 24 = 30 \) км. Все верно.

Ответ: Собственная скорость лодки 14 км/ч.