Вариант - 1 1. Выполните действия: a) -6,2 + 7,41 : 1,3. б) 7/11 : (8/11 + 4/33) 2. Даны координаты вершин прямоугольника ABCD: A(-2;1), B(-2;5), D(4;1). Начертите этот прямоугольник. а) Найдите координаты вершины С. б) Найдите координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника. в) Вычислите площадь и периметр прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка координатных осей равна 1 см. 3. На координатной плоскости отметьте точки A(3;-1), B(-2;4) и C(-1;-3). Проведите прямую АВ. Через точку С проведите прямую, параллельную АВ, и прямую, перпендикулярную АВ.

Решение:

1. Выполнение действий:

• а)

  Сначала выполним деление:

  \[ 7,41 \div 1,3 = 5,7 \]

  Теперь сложим:

  \[ -6,2 + 5,7 = -0,5 \]

• б)

  Сначала выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 33:

  \[ \frac{8}{11} + \frac{4}{33} = \frac{8 \times 3}{11 \times 3} + \frac{4}{33} = \frac{24}{33} + \frac{4}{33} = \frac{28}{33} \]

  Теперь выполним деление:

  \[ \frac{7}{11} \div \frac{28}{33} = \frac{7}{11} \times \frac{33}{28} = \frac{7 \times 33}{11 \times 28} \]

  Сократим дроби:

  \[ \frac{7}{11} \times \frac{33}{28} = \frac{1}{1} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \]

2. Прямоугольник ABCD:

Даны вершины: A(-2;1), B(-2;5), D(4;1).

а) Координаты вершины С:

В прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны. Вектор AB = (0, 4), Вектор AD = (6, 0). Следовательно, вектор BC должен быть равен вектору AD, а вектор DC должен быть равен вектору AB.

Чтобы найти координаты C, можно использовать векторное сложение: C = B + AD или C = D + AB.

Используя C = B + AD:

C = (-2; 5) + (6; 0) = (-2+6; 5+0) = (4; 5)

Используя C = D + AB:

C = (4; 1) + (0; 4) = (4+0; 1+4) = (4; 5)

Координаты вершины С: (4; 5).

б) Координаты точки пересечения диагоналей:

Диагонали прямоугольника пересекаются в точке, которая является серединой каждой из диагоналей (AC и BD).

Найдем середину диагонали AC:

M = ((-2+4)/2, (1+5)/2) = (2/2, 6/2) = (1, 3)

Найдем середину диагонали BD:

M = ((-2+4)/2, (5+1)/2) = (2/2, 6/2) = (1, 3)

Координаты точки пересечения диагоналей: (1; 3).

в) Площадь и периметр прямоугольника:

Длина стороны AB = |5 - 1| = 4 единицы.

Длина стороны AD = |4 - (-2)| = |4 + 2| = 6 единиц.

Площадь прямоугольника S = AB * AD = 4 * 6 = 24 кв. см.

Периметр прямоугольника P = 2 * (AB + AD) = 2 * (4 + 6) = 2 * 10 = 20 см.

Площадь: 24 кв. см. Периметр: 20 см.

3. Построение прямых:

Отметьте точки A(3;-1), B(-2;4) и C(-1;-3) на координатной плоскости.

а) Прямая AB:

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A(3;-1) и B(-2;4).

Угловой коэффициент k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (4 - (-1)) / (-2 - 3) = (4 + 1) / (-5) = 5 / -5 = -1.

Уравнение прямой: y - y1 = k(x - x1)

y - (-1) = -1(x - 3)

y + 1 = -x + 3

y = -x + 2

Уравнение прямой AB: y = -x + 2.

б) Прямая, параллельная AB, проходящая через С:

Параллельная прямая будет иметь тот же угловой коэффициент k = -1.

Уравнение прямой: y - y_C = k(x - x_C)

y - (-3) = -1(x - (-1))

y + 3 = -1(x + 1)

y + 3 = -x - 1

y = -x - 4

Уравнение параллельной прямой: y = -x - 4.

в) Прямая, перпендикулярная AB, проходящая через С:

Угловой коэффициент перпендикулярной прямой k_perp = -1 / k = -1 / (-1) = 1.

Уравнение прямой: y - y_C = k_perp(x - x_C)

y - (-3) = 1(x - (-1))

y + 3 = x + 1

y = x - 2

Уравнение перпендикулярной прямой: y = x - 2.

Ответ:

1. а) -0,5; б) 3/4

2. а) C(4;5); б) (1;3); в) Площадь: 24 кв. см, Периметр: 20 см.

3. а) Прямая AB: y = -x + 2; б) Параллельная прямая: y = -x - 4; в) Перпендикулярная прямая: y = x - 2.