Вариант 13 1. Диагональ куба равна \(\sqrt{18}\). Найдите объем куба. 2. Радиусы оснований усеченного конуса 3 и 9, образующая наклонена к основанию под углом 45°. Найдите объем усеченного конуса. 3. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды 5см,а высота 6см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 4. Осевое сечение цилиндра - квадрат, диагональ которого равна 16. Найдите объем цилиндра. 5. Площадь поверхности шара равна 64 \(\pi\) см². Найдите объем шара.

Решение:

1. 1. Найдём объём куба:
   Диагональ куба \(d\) связана с длиной ребра \(a\) формулой \( d = a\sqrt{3} \).
   Из условия \(d = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\).
   Следовательно, \( a\sqrt{3} = 3\sqrt{2} \), откуда \( a = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{6}\) см.
   Объём куба \( V_{куба} = a^3 = (\sqrt{6})^3 = 6\sqrt{6} \) см³.
2. 2. Найдём объём усечённого конуса:
   Радиусы оснований \( R = 9 \) см, \( r = 3 \) см.
   Образующая \( l = \sqrt{R^2 + r^2 + 2Rr \cos \alpha} \) (неверная формула для усеченного конуса, нужно найти высоту).
   Угол наклона образующей к основанию \(\alpha = 45°\).
   Высота усеченного конуса \( h \).
   Найдём высоту: \( h = (R - r) \tan \alpha = (9 - 3) \tan 45° = 6 \cdot 1 = 6 \) см.
   Объём усечённого конуса \( V_{ус.кон.} = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2) = \frac{1}{3} \pi \cdot 6 (9^2 + 9 \cdot 3 + 3^2) = 2\pi (81 + 27 + 9) = 2\pi \cdot 117 = 234\pi \) см³.
   Примечание: Угол 45° дан к основанию, а не к оси. Если угол 45° между образующей и радиусом большего основания, то \(h = (R-r) \tan 45^\text{o} = (9-3) \times 1 = 6\text{ см}\).
   Если угол 45° между образующей и плоскостью основания, тогда \(h/l = \text{sin}45^\text{o}\), \((R-r)/l = \text{cos}45^\text{o}\).
   \(h = l \text{sin}45^\text{o}\), \(R-r = l \text{cos}45^\text{o}\).
   \(h = (R-r) \tan 45^\text{o} = (9-3) \times 1 = 6\text{ см}\).
   Формула верна.
   Объём: \( V = \frac{1}{3}\pi h(R^2+Rr+r^2) = \frac{1}{3}\pi \times 6 (9^2+9 \times 3+3^2) = 2\pi (81+27+9) = 2\pi \times 117 = 234π \) см³.
3. 3. Найдём площадь боковой поверхности пирамиды:
   Сторона основания \( a = 5 \) см.
   Высота пирамиды \( H = 6 \) см.
   Пирамида четырёхугольная правильная, значит, в основании квадрат.
   Апофема \( h_a \) (высота боковой грани): \( h_a = \sqrt{H^2 + (a/2)^2} = \sqrt{6^2 + (5/2)^2} = \sqrt{36 + 25/4} = \sqrt{(144+25)/4} = \sqrt{169/4} = 13/2 = 6.5 \) см.
   Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = \frac{1}{2} P a \), где \( P \) - периметр основания.
   \( P = 4a = 4 \times 5 = 20 \) см.
   \( S_{бок} = \frac{1}{2} \times 20 \times 6.5 = 10 \times 6.5 = 65 \) см².
4. 4. Найдём объём цилиндра:
   Осевое сечение цилиндра — квадрат. Диагональ квадрата \( d = 16 \) см.
   Сторона квадрата (и диаметр цилиндра) \( D = d / \sqrt{2} = 16 / \sqrt{2} = 8\sqrt{2} \) см.
   Радиус цилиндра \( R = D/2 = 8\sqrt{2}/2 = 4\sqrt{2} \) см.
   Высота цилиндра \( H = D = 8\sqrt{2} \) см.
   Объём цилиндра \( V_{цил.} = \pi R^2 H = \pi (4\sqrt{2})^2 (8\sqrt{2}) = \pi (16 \times 2) (8\sqrt{2}) = \pi \times 32 \times 8\sqrt{2} = 256\sqrt{2} \pi \) см³.
   Примечание: Если диагональ квадрата равна 16, то сторона квадрата равна \(16/√2 = 8√2\). Диаметр цилиндра \(D = 8√2\), радиус \(R = 4√2\), высота \(H = 8√2\).
   \(V = π R^2 H = π (4√2)^2 (8√2) = π \times 32 \times 8√2 = 256√2 π\) см³.
   
5. 5. Найдём объём шара:
   Площадь поверхности шара \( S_{шара} = 4 π R^2 \).
   Из условия \( S_{шара} = 64 π \) см².
   \( 4 π R^2 = 64 π \)
   \( R^2 = 16 \)
   \( R = 4 \) см.
   Объём шара \( V_{шара} = \frac{4}{3} π R^3 = \frac{4}{3} π (4)^3 = \frac{4}{3} π \times 64 = \frac{256}{3} π \) см³.
   

Ответ: 1. 6√6 см³; 2. 234π см³; 3. 65 см²; 4. 256√2 π см³; 5. 256/3 π см³.