Вариант 16 1. Диагональ куба равна √27. Найдите объем куба. 2. Радиусы оснований усеченного конуса 5 и 8, образующая наклонена к основанию под углом 45°. Найдите объем усеченного конуса. 3. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды 3см,а высота 4см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 4. Осевое сечение цилиндра - квадрат, диагональ которого равна 20. Найдите объем цилиндра. 5. Площадь поверхности шара равна 36 π см². Найдите объем шара.

1. Объём куба

Диагональ куба \( d \) связана с длиной ребра \( a \) формулой \( d = a\sqrt{3} \). По условию \( d = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \). Следовательно, \( a = 3 \) см.

Объём куба \( V = a^3 \).

\( V = 3^3 = 27 \) см³.

Ответ: 27 см³.

2. Объём усечённого конуса

Радиусы оснований \( r = 5 \) см и \( R = 8 \) см. Угол наклона образующей к основанию \( \alpha = 45^{\circ} \).

Высота усечённого конуса \( h \) связана с разностью радиусов и углом \( \alpha \) соотношением \( \tan(\alpha) = \frac{h}{R-r} \).

\( h = (R-r) \tan(\alpha) = (8-5) \tan(45^{\circ}) = 3 \cdot 1 = 3 \) см.

Объём усечённого конуса \( V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2) \).

\( V = \frac{1}{3}\pi \cdot 3 (8^2 + 8 \cdot 5 + 5^2) = \pi (64 + 40 + 25) = 129\pi \) см³.

Ответ: 129π см³.

3. Площадь боковой поверхности пирамиды

Основание — квадрат со стороной \( a = 3 \) см. Высота пирамиды \( H = 4 \) см.

Апофема \( h_a \) — это высота боковой грани. Она находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды \( H \), половиной стороны основания \( \frac{a}{2} \) и апофемой \( h_a \).

\( h_a = \sqrt{H^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{4^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{16 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{64+9}{4}} = \sqrt{\frac{73}{4}} = \frac{\sqrt{73}}{2} \) см.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды \( S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a \), где \( P \) — периметр основания.

\( P = 4a = 4 \cdot 3 = 12 \) см.

\( S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{73}}{2} = 3\sqrt{73} \) см².

Ответ: 3√73 см².

4. Объём цилиндра

Осевое сечение цилиндра — квадрат. Диагональ квадрата \( d = 20 \) см.

Сторона квадрата (которая равна высоте \( h \) и диаметру \( D \) цилиндра) равна \( a = \frac{d}{\sqrt{2}} \).

\( a = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \) см.

Значит, высота цилиндра \( h = 10\sqrt{2} \) см, а радиус основания \( r = \frac{D}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \) см.

Объём цилиндра \( V = \pi r^2 h \).

\( V = \pi (5\sqrt{2})^2 \cdot 10\sqrt{2} = \pi (25 \cdot 2) \cdot 10\sqrt{2} = 50\pi \cdot 10\sqrt{2} = 500\sqrt{2}\pi \) см³.

Ответ: 500√2π см³.

5. Объём шара

Площадь поверхности шара \( S = 4\pi R^2 \). По условию \( S = 36\pi \) см².

\( 4\pi R^2 = 36\pi \)

\( R^2 = \frac{36\pi}{4\pi} = 9 \)

\( R = 3 \) см.

Объём шара \( V = \frac{4}{3}\pi R^3 \).

\( V = \frac{4}{3}\pi (3)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 4\pi \cdot 9 = 36\pi \) см³.

Ответ: 36π см³.