Вариант №17. Построить схематично графики функций: 1. С помощью первой производной: \(y=-x^4+6x^2-9\).

Рассмотрим функцию \(f(x)=-x^4+6x^2-9\).

1. Найдём производную: \(f'(x)=-4x^3+12x=-4x(x^2-3)\).
2. Критические точки: \(x=-\sqrt3\), \(x=0\), \(x=\sqrt3\).
3. Значения функции: \(f(-\sqrt3)=0\), \(f(0)=-9\), \(f(\sqrt3)=0\).
4. Функция возрастает на \((-\infty,-\sqrt3)\) и \((0,\sqrt3)\); убывает на \((-\sqrt3,0)\) и \((\sqrt3,+\infty)\).
5. Нули функции: \(-x^4+6x^2-9=-(x^2-3)^2=0\), поэтому \(x=\pm\sqrt3\). В этих точках график касается оси \(Ox\).

График симметричен относительно оси \(Oy\), имеет максимумы \((-\sqrt3,0)\) и \((\sqrt3,0)\), минимум \((0,-9)\).

Ответ: график имеет максимумы \((-\sqrt3,0)\), \((\sqrt3,0)\) и минимум \((0,-9)\); он расположен в полуплоскости \(y\leq0\).