Вариант 18. Решить треугольник (найти его неизвестные элементы): А) a=23, β=65°, γ=55°; Б) a=15, b=19, γ=80°; В) a=11, b=12, c=9.

А) Сумма углов треугольника равна 180°:

α = 180° − 65° − 55° = 60°.

По теореме синусов: a / sin α = b / sin β = c / sin γ.

b = 23 · sin 65° / sin 60° ≈ 24,06; c = 23 · sin 55° / sin 60° ≈ 21,77.

Ответ: α = 60°, b ≈ 24,06, c ≈ 21,77.

Б) По теореме косинусов для стороны c, лежащей напротив угла γ:

c² = a² + b² − 2ab cos γ = 15² + 19² − 2 · 15 · 19 · cos 80° ≈ 398,97.

c ≈ 19,97.

По теореме синусов: sin α = a sin γ / c, откуда α ≈ 47,74°. Тогда β = 180° − 80° − α ≈ 52,26°.

Ответ: c ≈ 19,97, α ≈ 47,74°, β ≈ 52,26°.

В) По теореме косинусов:

cos α = (b² + c² − a²) / (2bc) = (144 + 81 − 121) / 216 = 13 / 24, поэтому α ≈ 57,12°.

cos β = (a² + c² − b²) / (2ac) = (121 + 81 − 144) / 198 = 29 / 99, поэтому β ≈ 72,97°.

γ = 180° − α − β ≈ 49,91°.

Ответ: α ≈ 57,12°, β ≈ 72,97°, γ ≈ 49,91°.