Вариант 1 Задача 1: Дана прямая призма, в основании прямоугольник со сторонами 4 см и 6 см. Диагональ призмы 10 см. Найдите: 1. длину ребра призмы; 2. площадь боковой поверхности. Задача 2: Пирамида с основанием — квадрат со стороной 8 см. Высота пирамиды — 10 см. Найдите: 1. длину бокового ребра, соединяющего вершину с центром основания;

Задача 1:

Дано:
Прямая призма.
Основание: прямоугольник со сторонами 4 см и 6 см.
Диагональ призмы \( d = 10 \) см.

Найти:
1. Длину ребра призмы (высоту призмы) \( h \).
2. Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \).

Решение:

1. Длина ребра призмы (высота призмы):

Диагональ прямоугольника в основании \( d_{осн} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} \) см.

Диагональ призмы \( d \), диагональ основания \( d_{осн} \) и высота призмы \( h \) связаны соотношением: \( d^2 = d_{осн}^2 + h^2 \).

\[ 10^2 = (\sqrt{52})^2 + h^2 \]

\[ 100 = 52 + h^2 \]

\[ h^2 = 100 - 52 = 48 \]

\[ h = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \) см.

Длина ребра призмы равна высоте призмы, то есть \( 4\sqrt{3} \) см.

2. Площадь боковой поверхности:

Периметр основания \( P = 2(4 + 6) = 2(10) = 20 \) см.

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту:

\[ S_{бок} = P \cdot h = 20 \cdot 4\sqrt{3} = 80\sqrt{3} \) см².

Ответ: 1. Длина ребра призмы равна \( 4\sqrt{3} \) см. 2. Площадь боковой поверхности равна \( 80\sqrt{3} \) см².

Задача 2:

Дано:
Пирамида.
Основание: квадрат со стороной \( a = 8 \) см.
Высота пирамиды \( H = 10 \) см.

Найти:
Длину бокового ребра \( l \), соединяющего вершину с центром основания.

Решение:

Центр квадрата находится на пересечении его диагоналей. Расстояние от центра до вершины квадрата равно половине диагонали квадрата.

Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \) см.

Расстояние от центра основания до вершины квадрата (половина диагонали) \( r = \frac{d}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \) см.

Боковое ребро \( l \), высота пирамиды \( H \) и расстояние от центра основания до вершины квадрата \( r \) образуют прямоугольный треугольник, где \( l \) — гипотенуза.

По теореме Пифагора:

\[ l^2 = H^2 + r^2 \]

\[ l^2 = 10^2 + (4\sqrt{2})^2 \]

\[ l^2 = 100 + (16 \cdot 2) \]

\[ l^2 = 100 + 32 = 132 \]

\[ l = \(\sqrt{132}\) = \(\sqrt{4 \cdot 33}\) = 2\(\sqrt{33}\) \) см.

Ответ: Длина бокового ребра равна \( 2\sqrt{33} \) см.