Вариант 2. 1. а) Найти НОД (a, b), если: a = 2³ · 3³ · 5³ · 11, b = 2² · 3³ · 5 · 11. б) Найти НОД (54, 135). в) В купейных вагонах трёх поездов соответственно 418, 494 и 456 мест. Сколько в каждом поезде купейных вагонов, если их больше 20 и в вагонах одинаковое количество мест?

а) Для НОД берём общие простые множители в наименьших степенях:

НОД(a, b) = 2² · 3³ · 5 · 11 = 4 · 27 · 5 · 11 = 5940.

б) Разложим числа на простые множители: 54 = 2 · 3³, 135 = 3³ · 5. Общая часть разложений — 3³, поэтому НОД(54, 135) = 27.

в) Число мест в одном вагоне должно делить 418, 494 и 456. Наибольший общий делитель этих чисел равен 38: 418 = 2 · 11 · 19, 494 = 2 · 13 · 19, 456 = 2³ · 3 · 19. Так как вагонов больше 20, в каждом вагоне не может быть 38 мест: тогда получились бы 11, 13 и 12 вагонов. Из общего делителя 2 и 38 только 2 даёт более 20 вагонов: 418 : 2 = 209, 494 : 2 = 247, 456 : 2 = 228.

Ответ: а) 5940; б) 27; в) 209, 247 и 228 вагонов соответственно.