Вариант 2. 1) ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Найдите угол между AB и D₁A₁. 2) ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Найдите угол между CB₁ и A₁C₁. 3) ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Найдите угол между B₁D₁ и AC. 4) ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Найдите угол между D₁O и A₁C₁, где O — середина AC. 5) DABC — тетраэдр, K — середина DB. Найдите косинус угла между CK и AB.

Для пунктов 1–4 обозначим ребро куба через a и зададим координаты: A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, a, 0), D(0, a, 0); верхние вершины имеют координату z = a. Угол между прямыми берём меньший, от 0° до 90°.

1. Направляющие векторы AB = (a, 0, 0) и D₁A₁ = (0, −a, 0) перпендикулярны. Угол равен 90°.

2. Направляющие векторы CB₁ = (0, −a, a) и A₁C₁ = (a, a, 0). Их скалярное произведение равно −a², длины равны a√2. Меньший угол между прямыми имеет cos φ = |−a²|/(2a²) = 1/2, следовательно, φ = 60°.

3. Для B₁D₁ и AC можно взять направляющие векторы (−a, a, 0) и (a, a, 0). Их скалярное произведение равно 0, поэтому угол равен 90°.

4. O = (a/2, a/2, 0). Направляющий вектор D₁O равен (a/2, −a/2, −a), а для A₁C₁ — (a, a, 0). Скалярное произведение равно 0, значит, угол равен 90°.

5. Для численного ответа необходимо, чтобы тетраэдр был правильным; на фото это не указано. Если подразумевается правильный тетраэдр с ребром a, зададим A = (0, 0, 0), B = (a, 0, 0), D = (a/2, √3a/2, 0), C = (a/2, √3a/6, √(2/3)a). Тогда K — середина DB: K = (3a/4, √3a/4, 0). Векторы AB = (a, 0, 0) и CK = (a/4, √3a/12, −√(2/3)a). Их скалярное произведение равно a²/4, а длина CK равна √3a/2. Поэтому cos φ = (a²/4)/(a · √3a/2) = 1/(2√3). Если тетраэдр не правильный, данных недостаточно.

Ответ: 1) 90°; 2) 60°; 3) 90°; 4) 90°; 5) для правильного тетраэдра cos φ = 1/(2√3).