Вариант 2. 1. Через точки A, B и середину M отрезка AB проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость α в точках C, D, N соответственно. Найдите длину отрезка MN, если AC = 3 м, BD = 17 м, причём отрезок AB не пересекает плоскость α. 2. Точка E не лежит в плоскости параллелограмма ABCD. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков EA и EB, параллельна стороне CD параллелограмма ABCD. [Окончание условия обрезано]

1. Так как AB не пересекает плоскость α, точки A и B лежат по одну сторону от неё. При параллельном проектировании середина M отрезка AB переходит в середину N отрезка CD. Поэтому в треугольнике ACD отрезок MN — средняя линия:

\(MN=\frac{AC+BD}{2}=\frac{3+17}{2}=10\) м.

Ответ: 10 м.

2. Обозначим середины EA и EB через K и L. В треугольнике EAB отрезок KL является средней линией, значит, \(KL\parallel AB\). В параллелограмме ABCD противоположные стороны параллельны: \(AB\parallel CD\). Следовательно, \(KL\parallel CD\).