Вариант 2. 1. Дан треугольник ABC, M ∈ AB, N ∈ BC, BM : BA = BN : BC = 3 : 5. Через прямую AC проходит плоскость β, не совпадающая с плоскостью треугольника ABC. 1) Докажите, что MN ∥ β. 2) Найдите длину отрезка MN, если AC = 10 см.

1) По условию \(\frac{BM}{BA}=\frac{BN}{BC}=\frac{3}{5}\). Значит, точки M и N делят стороны AB и BC в одинаковом отношении.

По обратному утверждению теоремы Фалеса \(MN \parallel AC\). Прямая AC лежит в плоскости β, а MN лежит в плоскости ABC, параллельной AC. Плоскости ABC и β различны и пересекаются по прямой AC. Поэтому MN не пересекает β и параллельна этой плоскости: \(MN \parallel β\).

2) Из подобия треугольников BMN и BAC:

\(\frac{MN}{AC}=\frac{BM}{BA}=\frac{3}{5}\).

\(MN=10\cdot\frac{3}{5}=6\) см.

Ответ: 1) \(MN \parallel β\); 2) 6 см.