Вариант 2. 1. Дано: ABCD — прямоугольник, ∠BOA = 36°. Найти: ∠CAD, ∠BDC. 2. Дано: ABCD — прямоугольник, ∠ADB : ∠CDB = 4 : 5. Найти углы треугольника AOB.

1. Диагонали прямоугольника пересекаются и делятся пополам. Так как диагонали равны, их половины равны, поэтому треугольник AOB равнобедренный. Его вершина при O имеет угол 36°.

Углы при основании равны: ∠OAB = ∠ABO = (180° − 36°) : 2 = 72°. Поскольку AB ⟂ AD, ∠CAD = 90° − 72° = 18°.

В треугольнике BCD угол при C прямой, а ∠CBD = ∠ABO = 72° (AB ∥ CD, а OB лежит на BD). Поэтому ∠BDC = 180° − 90° − 72° = 18°? Здесь ∠CBD образован лучами BC и BD, а не AB и BO: так как BC ⟂ AB, ∠CBD = 90° − ∠ABD = 90° − 72° = 18°. Следовательно, ∠BDC = 90° − 18° = 72°.

2. Углы ∠ADB и ∠CDB составляют прямой угол D. Пусть одна доля равна x. Тогда 4x + 5x = 90°, откуда x = 10°. Значит, ∠ADB = 40°, ∠CDB = 50°.

В прямоугольном треугольнике ADB: ∠DAB = 90°, поэтому ∠ABD = 180° − 90° − 40° = 50°. Треугольник AOB равнобедренный, так как его стороны OA и OB — равные половины диагоналей прямоугольника. Следовательно, ∠OAB = ∠ABO = 50°, а ∠AOB = 180° − 50° − 50° = 80°.

Ответ: 1) ∠CAD = 18°, ∠BDC = 72°; 2) ∠OAB = 50°, ∠ABO = 50°, ∠AOB = 80°.