Вариант 2: 1. Дано: \(\angle ACB = 90^\circ, \angle B = 40^\circ, CD - высота (рис. 4.172). Найти: острые углы \(\triangle ACD\). 2. Угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины наибольшего угла прямоугольного треугольника, равен 22°. Найдите острые углы данного треугольника. 3. Докажите равенство остроугольных треугольников по стороне и проведенным к ней медиане и высоте.

Решение:

Вариант 2

1. 1. Нахождение острых углов \(\triangle ACD\):
   В \(\triangle ABC\): \(\angle ACB = 90^\circ\) и \(\angle B = 40^\circ\).
   Следовательно, \(\angle BAC = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\).
   CD — высота, значит \(\angle CDA = 90^\circ\).
   В \(\triangle ACD\): \(\angle CAD = \angle BAC = 50^\circ\) и \(\angle CDA = 90^\circ\).
   Сумма углов в \(\triangle ACD\) равна \(180^\circ\), поэтому \(\angle ACD = 180^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\).
   Острые углы \(\triangle ACD\) равны \(50^\circ\) и \(40^\circ\).
2. 2. Нахождение острых углов прямоугольного треугольника:
   Пусть \(\angle A\) и \(\angle B\) — острые углы прямоугольного треугольника. Наибольший угол — прямой \(90^\circ\).
   Угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины наибольшего угла (вершины прямого угла), равен \(|\angle A - \angle B| / 2\).
   Нам дано, что этот угол равен \(22^\circ\).
   \(|\angle A - \angle B| / 2 = 22^\circ\) \( \implies |\angle A - \angle B| = 44^\circ \).
   Также мы знаем, что \(\angle A + \angle B = 90^\circ\).
   Решим систему уравнений:
   \(\begin{cases} \angle A + \angle B = 90^\circ \\ \angle A - \angle B = 44^\circ \end{cases}\) (предполагаем \(\angle A > \angle B\)
   Сложим уравнения: \(2\angle A = 134^\circ \implies \angle A = 67^\circ\).
   Подставим \(\angle A = 67^\circ\) в первое уравнение: \(67^\circ + \angle B = 90^\circ \implies \angle B = 23^\circ\).
   Если предположить \(\angle B > \angle A\), то \(\angle B - \angle A = 44^\circ\), и получим \(\angle A = 23^\circ\), \(\angle B = 67^\circ\).
   Таким образом, острые углы равны \(23^\circ\) и \(67^\circ\).
3. 3. Доказательство равенства остроугольных треугольников:
   Дано: \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) — остроугольные.
   Сторона \(AB\) и проведенные к ней медиана \(CM\) и высота \(CD\) в \(\triangle ABC\).
   Сторона \(A_1B_1\) и проведенные к ней медиана \(C_1M_1\) и высота \(C_1D_1\) в \(\triangle A_1B_1C_1\).
   Условие: \(AB = A_1B_1\), \(CM = C_1M_1\), \(CD = C_1D_1\).
   Доказательство:
   Рассмотрим \(\triangle CDM\) и \(\triangle C_1D_1M_1\).
   Имеем: \(CM = C_1M_1\) (по условию), \(CD = C_1D_1\) (по условию). \(\angle CDM = \angle C_1D_1M_1 = 90^\circ\) (так как \(CD\) и \(C_1D_1\) — высоты).
   По теореме Пифагора в \(\triangle CDM\): \(DM^2 = CM^2 - CD^2\).
   По теореме Пифагора в \(\triangle C_1D_1M_1\): \(D_1M_1^2 = C_1M_1^2 - C_1D_1^2\).
   Так как \(CM = C_1M_1\) и \(CD = C_1D_1\), то \(DM^2 = D_1M_1^2\), и поскольку \(DM\) и \(D_1M_1\) — длины отрезков, то \(DM = D_1M_1\).
   \(M\) — середина \(AB\), значит \(AM = MB = AB/2\). \(M_1\) — середина \(A_1B_1\), значит \(A_1M_1 = M_1B_1 = A_1B_1/2\).
   Так как \(AB = A_1B_1\), то \(AM = A_1M_1\).
   \(D\) — основание высоты, \(M\) — середина стороны. Рассмотрим положение точки \(D\) относительно \(M\) и \(A\), \(B\).
   \(AD = AM + MD = AB/2 + MD\) (если \(D\) лежит между \(A\) и \(M\), то \(AD = AM - MD = AB/2 - MD\)).
   \(A_1D_1 = A_1M_1 + M_1D_1 = A_1B_1/2 + M_1D_1\) (или \(A_1M_1 - M_1D_1\)).
   Так как \(AB = A_1B_1\) и \(MD = M_1D_1\), то \(AD = A_1D_1\).
   Теперь рассмотрим \(\triangle ADC\) и \(\triangle A_1D_1C_1\).
   Имеем: \(AD = A_1D_1\), \(CD = C_1D_1\), \(\angle CDA = \angle C_1D_1A_1 = 90^\circ\).
   Следовательно, \(\triangle ADC = \triangle A_1D_1C_1\) по двум катетам.
   Из равенства этих треугольников следует, что \(AC = A_1C_1\).
   Аналогично, рассматривая \(\triangle BDC\) и \(\triangle B_1D_1C_1\), мы получим \(BC = B_1C_1\).
   Таким образом, \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\) по трем сторонам (AB = A_1B_1, AC = A_1C_1, BC = B_1C_1).
   Теорема доказана.

Ответ: 1. Острые углы \(\triangle ACD\) равны \(50^\circ\) и \(40^\circ\). 2. Острые углы треугольника равны \(23^\circ\) и \(67^\circ\). 3. Доказано.