Вариант 2. 1. Даны два неколлинеарных вектора \(\vec a\) и \(\vec b\). Длина вектора \(\vec a=6\) см, а вектора \(\vec b=3\) см. Построить: 1) \(\vec m=2\vec b-\frac12\vec a\); 2) \(\vec k=2\vec a+\vec b\); 3) \(\vec b-\vec a\). 2. В параллелограмме MDKN диагонали пересекаются в точке O. Точка A принадлежит DN, DA:AN=1:4. \(\overrightarrow{NK}=\vec a\), \(\overrightarrow{NM}=\vec b\). Выразить через \(\vec a\) и \(\vec b\) векторы \(\overrightarrow{ND},\overrightarrow{AN},\overrightarrow{KA}\).

1. Направления векторов не заданы, поэтому построение выполняется в любом выбранном неколлинеарном расположении, с указанными длинами.

1. Для \(\vec m=2\vec b-\frac12\vec a\): отложить \(2\vec b\) длиной 6 см и \(-\frac12\vec a\) длиной 3 см, направленный противоположно \(\vec a\); результирующий вектор соединяет начало первого слагаемого с концом второго.
2. Для \(\vec k=2\vec a+\vec b\): сложить \(2\vec a\) длиной 12 см и \(\vec b\) длиной 3 см.
3. Для \(\vec b-\vec a\): сложить \(\vec b\) с \(-\vec a\), направленным противоположно \(\vec a\).

2. В параллелограмме MDKN противоположные стороны равны и параллельны. Поэтому \(\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{MK}\). Из заданных сторон \(\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{NK}-\overrightarrow{NM}=\vec a-\vec b\), значит \(\overrightarrow{ND}=\vec a-\vec b\).

1. Из \(DA:AN=1:4\) следует, что A делит DN так, что \(\overrightarrow{AN}=\frac45\overrightarrow{DN}\). Поэтому \(\overrightarrow{AN}=-\frac45(\vec a-\vec b)=\frac45(\vec b-\vec a)\).
2. \(\overrightarrow{KA}=\overrightarrow{KN}+\overrightarrow{NA}=-\vec a-\overrightarrow{AN}\), так как \(\overrightarrow{KN}=-\vec a\) и \(\overrightarrow{NA}=-\overrightarrow{AN}\). Следовательно, \(\overrightarrow{KA}=-\vec a-\frac45(\vec b-\vec a)=-\frac15\vec a-\frac45\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{ND}=\vec a-\vec b\), \(\overrightarrow{AN}=\frac45(\vec b-\vec a)\), \(\overrightarrow{KA}=-\frac15\vec a-\frac45\vec b\).