Вариант 2. 1) Даны две параллельные плоскости α и β и не лежащая между ними точка K. Две прямые, проходящие через точку K, пересекают ближнюю к точке K плоскость α в точках A₁ и A₂, а дальнюю плоскость β — в точках B₁ и B₂. Найдите длину отрезка B₁B₂, если A₁A₂=10 см и A₁K:A₁B₁=2:3; 2) Какую длину должна иметь перекладина, чтобы её можно было положить на две вертикальные опоры высотой 9 м и 5 м, поставленные на расстоянии 3 м одна от другой?; 3) Из вершины B прямоугольника ABCD со сторонами BC=3 см и AB=6 см к его плоскости проведён перпендикуляр BM=3√3 см. Найдите площадь треугольника DCM.

Треугольники KA₁A₂ и KB₁B₂ подобны. Из отношения A₁K:A₁B₁=2:3 получаем KB₁:KA₁=5:2. Поэтому

\[\frac{B₁B₂}{A₁A₂}=\frac{KB₁}{KA₁}=\frac52,\qquad B₁B₂=10\cdot\frac52=25\text{ см}.\]

Ответ: 25 см.

Разность высот опор равна 9−5=4 м, а расстояние между ними — 3 м. Длина перекладины является гипотенузой:

\[l=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\text{ м}.\]

Ответ: 5 м.

В прямоугольнике DC=AB=6 см. Расстояние от B до прямой DC равно BC=3 см. Так как BM⊥ плоскости прямоугольника, высота треугольника DCM к основанию DC равна

\[h=\sqrt{BM^2+BC^2}=\sqrt{(3\sqrt3)^2+3^2}=\sqrt{36}=6\text{ см}.\]

Тогда

\[S_{DCM}=\frac12\cdot DC\cdot h=\frac12\cdot6\cdot6=18\text{ см}^2.\]

Ответ: 18 см².