Вариант 2. 1. Даны две пересекающиеся прямые. Верно ли утверждение, что все прямые, пересекающие данные, лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте. 2. а) Дан прямоугольник ABCD, O — точка пересечения его диагоналей. Известно, что точки A, B и O лежат в плоскости α. Докажите, что точки C и D также лежат в плоскости α. б) Вычислите площадь прямоугольника, если AC = 8 см, ∠AOB = 60°.

1. Нет. Например, пусть две данные прямые пересекаются в точке O и лежат в плоскости α. Через каждую из них можно провести прямую, не лежащую в α, которая пересекает эту прямую в точке, отличной от O. Такие две проведённые прямые могут не лежать в одной плоскости. Значит, утверждение неверно.

2а. Так как A и O принадлежат плоскости α, прямая AO лежит в α. Точка O лежит на диагонали AC, поэтому прямая AO совпадает с AC; следовательно, C ∈ α. Аналогично, B и O принадлежат α, значит прямая BO лежит в α. Точка O лежит на диагонали BD, поэтому BO совпадает с BD; следовательно, D ∈ α.

2б. В прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому \(AO=BO=\frac{AC}{2}=4\) см. Треугольник AOB равнобедренный, а угол при вершине O равен 60°, значит он равносторонний и \(AB=4\) см.

По теореме Пифагора для прямоугольника: \(BC^2=AC^2-AB^2=8^2-4^2=48\), поэтому \(BC=4\sqrt{3}\) см.

Тогда площадь прямоугольника: \(S=AB\cdot BC=4\cdot4\sqrt{3}=16\sqrt{3}\text{ см}^2.\)

Ответ: \(16\sqrt{3}\) см².