Вариант 2. 1. Диагонали прямоугольника MNKP пересекаются в точке O, ∠MON = 64°. Найдите угол OMP. 2. Найдите углы равнобокой трапеции, если один из её углов на 30° больше второго. 3. Стороны параллелограмма относятся как 3 : 1, а его периметр равен 40 см. Найдите стороны параллелограмма. 4. В прямоугольной трапеции разность углов при одной из боковых сторон равна 48°. Найдите углы трапеции. 5. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, длина диагонали AC равна 6 см. Найдите AM, если точка M лежит на продолжении стороны AD.

Соседние вершины прямоугольника перечислены в порядке M–N–K–P, поэтому диагонали OM и ON образуют с соседними сторонами равные острые углы. Угол между диагоналями равен удвоенному углу между диагональю и стороной: угол между диагональю и MP равен 64° : 2 = 32°. В прямоугольном треугольнике MOP угол OMP дополняет этот угол до 90°: 90° − 32° = 58°.

У равнобокой трапеции углы при каждом основании равны, а два угла, прилежащие к боковой стороне, в сумме дают 180°. Пусть меньший угол равен x°, тогда больший — (x + 30)°. Получаем x + x + 30 = 180, откуда x = 75. Больший угол равен 105°.

Ответ: 75°, 75°, 105°, 105°.

Пусть стороны равны 3x и x. По условию периметр равен 40 см, поэтому 2(3x + x) = 40; 8x = 40; x = 5 см. Стороны: 3x = 15 см и x = 5 см.

Ответ: 15 см и 5 см.

В прямоугольной трапеции два угла при перпендикулярных основаниям боковых сторонах равны 90°. Два остальных угла при второй боковой стороне в сумме дают 180°, а по условию отличаются на 48°. Обозначим их x° и y°: x + y = 180, y − x = 48. Тогда y = 114°, x = 66°.

Ответ: 90°, 90°, 66°, 114°.

Поскольку BM — высота, BM перпендикулярна AD. Угол между BM и AB равен 30°, поэтому угол DAB равен 60°. В ромбе диагональ AC делит угол A пополам, значит угол между AB и AC равен 30°. Треугольник ABC равнобедренный, AB = BC; при вершине B угол равен 120°, поэтому AC = AB. Следовательно, сторона ромба равна 6 см.

В прямоугольном треугольнике ABM угол B равен 30°, а гипотенуза AB = 6 см. Катет AM, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы: AM = 3 см.

Ответ: AM = 3 см.