Вариант 2. 1. Диагонали ромба KMNP пересекаются в точке O. Найдите углы треугольника KOM, если ∠MNP = 80°. 2. На стороне BC параллелограмма ABCD взята точка M так, что AB = BM. а) Докажите, что AM — биссектриса угла BAD. б) Найдите периметр параллелограмма, если CD = 8 см, CM = 4 см.

В ромбе противоположные углы равны, поэтому ∠KMP = ∠MNP = 80°. Диагональ KM биссектрисса угла при вершине M, значит, ∠KMO = 40°.

Диагонали ромба перпендикулярны, следовательно, ∠KOM = 90°. Тогда по сумме углов треугольника ∠OKM = 180° − 90° − 40° = 50°.

Ответ: ∠KOM = 90°, ∠KMO = 40°, ∠OKM = 50°.

Так как AB = BM, треугольник ABM равнобедренный, поэтому ∠BAM = ∠AMB. Поскольку BM лежит на BC, а BC ∥ AD, углы ∠AMB и MAD равны как накрест лежащие. Значит, ∠BAM = ∠MAD, то есть AM — биссектриса угла BAD.

В параллелограмме AB = CD = 8 см. Также BC = BM + CM = 8 + 4 = 12 см, а соседние стороны равны AB = CD и BC = AD. Поэтому P = 2(8 + 12) = 40 см.

Ответ: а) AM — биссектриса угла BAD; б) 40 см.