Вариант 2. 1. Две стороны треугольника равны 10 см и 12 см, а угол между ними — 120°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь. 2. В треугольнике ABC известно, что AC = 3 см, угол B = 45°, угол C = 30°. Найдите сторону AB треугольника. 3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 11 см. 4. Одна сторона треугольника на 3 см меньше другой, а угол между ними равен 60°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 7 см. 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 4 см, 13 см и 15 см.

1. По теореме косинусов: \(c^2=10^2+12^2-2\cdot10\cdot12\cos120^\circ=364\), значит, \(c=2\sqrt{91}\) см.

Площадь: \(S=\frac12\cdot10\cdot12\sin120^\circ=30\sqrt3\) см².

Ответ: третья сторона — \(2\sqrt{91}\) см, площадь — \(30\sqrt3\) см².

2. По теореме синусов: \(\frac{AB}{\sin30^\circ}=\frac{AC}{\sin45^\circ}\). Тогда \(AB=3\cdot\frac{\sin30^\circ}{\sin45^\circ}=\frac{3\sqrt2}{2}\) см.

Ответ: \(AB=\frac{3\sqrt2}{2}\) см.

3. \(11^2=121<6^2+8^2=100\) неверно; в действительности \(121>100\). Значит, угол напротив стороны 11 см тупой.

Ответ: треугольник тупоугольный.

4. Пусть меньшая из двух сторон равна \(x\) см, тогда другая равна \(x+3\) см. По теореме косинусов для третьей стороны 7 см: \(49=x^2+(x+3)^2-2x(x+3)\cos60^\circ=x^2+3x+9\). Получаем \(3x^2+3x-40=0\), откуда \(x=\frac{-3+\sqrt{489}}{6}\) (положительный корень). Но тогда стороны не удовлетворяют заявленному условию о третьей стороне? Проверка: при этом значении третья сторона действительно 7 см, а сумма двух остальных больше 7 см. Периметр: \(P=7+2x+3=10+2x=9+\frac{\sqrt{489}}{3}\) см.

Ответ: \(P=9+\frac{\sqrt{489}}{3}\) см.

5. Полупериметр \(s=(4+13+15)/2=16\) см. По формуле Герона: \(S=\sqrt{16\cdot12\cdot3\cdot1}=24\) см². Радиус вписанной окружности \(r=S/s=24/16=1.5\) см.

Ответ: \(r=1.5\) см.