Вариант 2. 1. Две стороны треугольника равны 6 см и 2√3 см, а угол между ними равен 30°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь. 2. В треугольнике ABC известно, что BC = 5√2 см, ∠A = 135°, ∠B = 30°. Найдите сторону AC. 3. В треугольнике ABC сторона AB = 4 см, AC = 9 см, ∠A = 60°. Найдите сторону BC и площадь треугольника. 4. В треугольнике ABC известно, что AB = 3 см, BC = 4 см, AC = 5 см. Найдите косинус угла B.

По теореме косинусов для третьей стороны \(c\):

\(c^2=6^2+(2\sqrt{3})^2-2\cdot6\cdot2\sqrt{3}\cdot\cos30^\circ=36+12-36=12\), поэтому \(c=2\sqrt{3}\) см.

Площадь: \(S=\frac12\cdot6\cdot2\sqrt{3}\cdot\sin30^\circ=3\sqrt{3}\) см².

Ответ: \(2\sqrt{3}\) см; \(3\sqrt{3}\) см².

\(\angle C=180^\circ-135^\circ-30^\circ=15^\circ\). По теореме синусов:

\(\frac{AC}{\sin30^\circ}=\frac{BC}{\sin135^\circ}\), поэтому \(AC=5\sqrt{2}\cdot\frac{1/2}{\sqrt{2}/2}=5\) см.

Ответ: 5 см.

По теореме косинусов:

\(BC^2=4^2+9^2-2\cdot4\cdot9\cdot\cos60^\circ=16+81-36=61\), значит, \(BC=\sqrt{61}\) см.

Площадь: \(S=\frac12\cdot4\cdot9\cdot\sin60^\circ=9\sqrt{3}\) см².

Ответ: \(BC=\sqrt{61}\) см; \(S=9\sqrt{3}\) см².

По теореме косинусов для угла B:

\(\cos B=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{3^2+4^2-5^2}{2\cdot3\cdot4}=0\).

Ответ: \(\cos B=0\).