Вариант 2. 1. На прямой отмечены точки B, C и D. Какую длину может иметь отрезок BD, если CD = 2,6 см, BC = 3,7 см? 2. Сумма всех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, в пять раз меньше суммы двух других образовавшихся углов. Найдите все образовавшиеся углы. 3. Из вершины угла проведён луч, перпендикулярный его биссектрисе и образующий со стороной данного угла угол, равный β. Найдите величину данного угла. 4*. Дано: ∠AOB − ∠AOC = 27°, ∠AOB − ∠BOC = 42° (рис. 1.138). Найти: ∠AOB.

1. Точка C может лежать между B и D, тогда BD = BC + CD = 3,7 + 2,6 = 6,3 см. Если же B или D лежит между двумя другими точками, то BD = |BC − CD| = |3,7 − 2,6| = 1,1 см.

2. Формулировка «сумма всех углов» буквально даёт 360°. Сумма любых двух углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, не может быть в пять раз меньше 360°: она не превышает 360°, а требовалась бы сумма 72°, невозможная для пары таких углов. Поэтому при буквальном прочтении условие противоречиво.

   Если имеется в виду стандартное условие «сумма двух углов в пять раз меньше суммы двух других», пусть меньший угол равен x, а смежный больший — 180° − x. Тогда 2x = 2(180° − x)/5, откуда 10x = 360° − 2x, x = 30°. Другой угол равен 150°.

3. Луч, перпендикулярный биссектрисе, образует с каждой стороной угла равные углы. Следовательно, β — половина данного угла, а весь угол равен 2β.

4. Обозначим ∠AOB = x. По рисунку луч OC лежит внутри угла AOB, поэтому ∠AOC + ∠BOC = x. Из условий ∠AOC = x − 27°, ∠BOC = x − 42°. Тогда x = (x − 27°) + (x − 42°), откуда x = 69°.

Ответ: 1) 6,3 см или 1,1 см; 2) при буквальном прочтении решения нет; при вероятном исправлении формулировки — 30° и 150°; 3) 2β; 4) 69°.