Вариант 2. 1) На рис. 2 отрезки ME и PK точкой Д делятся пополам. Докажите, что ∠KMD = ∠PED. 2) На сторонах угла Д отмечены точки M и K так, что ДМ = ДК. Точка P лежит внутри угла Д и РК = РМ. Докажите, что луч ДР — биссектриса угла МДК. 3) В равнобедренном △ABC точки K и M являются серединами боковых сторон AB и BC соответственно. BD — медиана треугольника. Докажите, что △AKD = △CMD.

1) Так как D — середина ME и PK, то MD = DE и PD = DK. Углы ∠MDK и ∠EDP вертикальные, следовательно, равны. Поэтому △MDK = △EDP по двум сторонам и углу между ними. Отсюда соответствующие углы ∠KMD и ∠PED равны.

2) Рассмотрим △DMP и △DKP. По условию DM = DK, PM = PK, а DP — общая сторона. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам. Поэтому ∠MDP = ∠PDK. Так как P лежит внутри угла MDK, луч DP делит его на два равных угла.

Ответ: луч DP — биссектриса угла MDK.

3) Пусть D — середина AC, так как BD — медиана. Поскольку ABC равнобедренный с боковыми сторонами AB и BC, имеем AB = BC. K и M — середины AB и BC, поэтому AK = CM. Также AD = DC. Угол KAD равен углу MCD: это углы при основании равнобедренного треугольника ABC. Следовательно, △AKD = △CMD по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: △AKD = △CMD.