Вариант 2. 1. Начертите вектор $\vec{a}$, абсолютная величина которого равна 3 см. Постройте векторы $2\vec{a}$; $-\vec{a}$; $-\frac13\vec{a}$. 2. В параллелограмме $ABCD$ на стороне $BC$ взята точка $P$ так, что $BP:PC=3:1$, $O$ — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы $\overrightarrow{AO}$ и $\overrightarrow{PA}$ через векторы $\vec{x}=\overrightarrow{AB}$; $\vec{y}=\overrightarrow{AD}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 2. 1. Начертите вектор $\vec{a}$, абсолютная величина которого равна 3 см. Постройте векторы $2\vec{a}$;…$ Фото задания

Вариант 2. 1. Начертите вектор $\vec{a}$, абсолютная величина которого равна 3 см. Постройте векторы $2\vec{a}$; $-\vec{a}$; $-\frac13\vec{a}$. 2. В параллелограмме $ABCD$ на стороне $BC$ взята точка $P$ так, что $BP:PC=3:1$, $O$ — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы $\overrightarrow{AO}$ и $\overrightarrow{PA}$ через векторы $\vec{x}=\overrightarrow{AB}$; $\vec{y}=\overrightarrow{AD}$.

Accepted Answer

1. Направление исходного вектора можно выбрать произвольно. Возьмём $\vec{a}$ длиной 3 см.

Модуль множителя задаёт, во сколько раз изменяется длина; отрицательный множитель меняет направление на противоположное.

$2\vec{a}$: длина $2\cdot3=6$ см, направление как у $\vec{a}$.
$-\vec{a}$: длина 3 см, направление противоположно $\vec{a}$.
$-\frac13\vec{a}$: длина $\frac13\cdot3=1$ см, направление противоположно $\vec{a}$.

2. Точка пересечения диагоналей — середина диагонали $AC$. Так как $\overrightarrow{AC}=\vec{x}+\vec{y}$, получаем $\overrightarrow{AO}=\frac12\vec{x}+\frac12\vec{y}$.

Поскольку $\overrightarrow{BC}=\vec{y}$ и $BP:PC=3:1$, то $\overrightarrow{BP}=\frac34\vec{y}$. Следовательно, $\overrightarrow{AP}=\vec{x}+\frac34\vec{y}$, поэтому $\overrightarrow{PA}=-\vec{x}-\frac34\vec{y}$.

Ответ: $\overrightarrow{AO}=\frac12\vec{x}+\frac12\vec{y}$, $\overrightarrow{PA}=-\vec{x}-\frac34\vec{y}$.