Вариант 2. 1. Найдите координаты вершины параболы y = x² + 8x + 12. 2. Укажите направление ветвей параболы и нули функции для y = −x² + 9. 3. Постройте схематично график функции y = −x² + 2x + 3 и найдите наибольшее значение этой функции. 4. Найдите область значений функции y = −x² + 6x − 7.

Выделим полный квадрат: \(y=x^2+8x+12=(x+4)^2-4\). Вершина параболы имеет координаты (−4; −4).

Коэффициент при \(x^2\) равен −1, поэтому ветви направлены вниз. Найдём нули: \(-x^2+9=0\), значит \(x^2=9\) и \(x=−3\) или \(x=3\).

Ответ: ветви направлены вниз; нули функции — −3 и 3.

Приведём функцию к вершиной форме: \(y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4\). Вершина — (1; 4), ось симметрии — \(x=1\); ветви направлены вниз. Нули: \(-(x-3)(x+1)=0\), то есть −1 и 3.

Схематический график:

Так как \(-(x-1)^2\leq 0\), наибольшее значение функции равно 4.

Выделим полный квадрат: \(y=-x^2+6x-7=-(x-3)^2+2\). Квадрат неотрицателен, поэтому максимальное значение равно 2; значения функции не превосходят 2.

Ответ: область значений — (−∞; 2].