Вариант 2. 1. Найдите область определения функции: а) y = 6x⁵ − 3x² − 1; б) y = 1/(5x² − 2x − 3); в) y = √(3 − 2x). 2. Определите, является ли функция y = f(x) чётной или нечётной, если: а) f(x) = 2x³ − 5x; б) f(x) = 2/x²; в) f(x) = ∛(5x + 1). 3. Постройте график функции y = x² − x − 2. С помощью графика найдите: а) значение y при x = 1,5; б) значения x, при которых y = 3; в) углы наклона и промежутки знакопостоянства; г) промежуток, на котором функция убывает; д) множество значений функции. 4. Найдите, при каких значениях a наибольшее значение функции y = −x² + 6x + a равно 5.

1. Область определения

1. а) Многочлен определён при всех действительных x: D(y) = ℝ.
2. б) Знаменатель не должен обращаться в ноль: 5x² − 2x − 3 = (5x + 3)(x − 1) ≠ 0. Поэтому D(y) = ℝ \ {−3/5; 1}.
3. в) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: 3 − 2x ≥ 0, откуда x ≤ 3/2. Поэтому D(y) = (−∞; 3/2].

2. Чётность и нечётность

1. а) f(−x) = −2x³ + 5x = −f(x), поэтому функция нечётная.
2. б) f(−x) = 2/(−x)² = f(x), поэтому функция чётная (её область определения исключает 0, но симметрична относительно нуля).
3. в) Область определения всей ℝ, но f(−x) = ∛(1 − 5x) в общем случае не равно ни f(x), ни −f(x). Функция ни чётная, ни нечётная.

3. График y = x² − x − 2

1. а) При x = 1,5: y = 1,5² − 1,5 − 2 = 2,25 − 3,5 = −1,25.
2. б) Решаем x² − x − 2 = 3: x² − x − 5 = 0. Отсюда x = (1 ± √21)/2.
3. в) Вершина параболы: x₀ = −(−1)/(2·1) = 1/2; y₀ = −9/4. Ось симметрии — x = 1/2; ветви направлены вверх. Функция отрицательна между корнями −1 и 2, положительна при x < −1 и x > 2.
4. г) Парабола убывает до вершины: (−∞; 1/2].
5. д) Наименьшее значение равно −9/4, поэтому множество значений: [−9/4; +∞).

4. Максимум функции

Выделим полный квадрат: y = −x² + 6x + a = −(x − 3)² + 9 + a. Наибольшее значение достигается при x = 3 и равно 9 + a. Тогда 9 + a = 5, откуда a = −4.