Вариант 2. 1. Найдите углы прямоугольной трапеции, если один из её углов равен 20°. 2. Диагонали ромба KMNP пересекаются в точке O. Найдите углы треугольника KMO, если ∠MNP = 80°. 3. На стороне BC параллелограмма ABCD взята точка M так, что AB = BM. а) Докажите, что AM — биссектриса угла BAD. б) Найдите периметр параллелограмма, если известно, что CD = 8 см, CM = 4 см. Дополнительное задание: Периметр квадрата равен 22 мм. Найдите сторону квадрата.

1. У прямоугольной трапеции два угла прямые. Два остальных угла, прилежащие к боковой стороне, в сумме равны 180°. Если один равен 20°, второй равен 160°. Углы: 90°, 90°, 20° и 160°.
2. Смежные углы ромба supplementary, поэтому ∠KMP = 180° − 80° = 100°. Диагональ MP биссектрисса угла M, значит, ∠KMO = 50°. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому ∠KOM = 90°. Тогда ∠MKO = 180° − 50° − 90° = 40°.

3. а) Так как AB = BM, треугольник ABM равнобедренный, и ∠BAM = ∠AMB. Поскольку M лежит на BC, ∠ABM = ∠ABC. Углы BAD и ABC в параллелограмме смежные, поэтому ∠BAD = 180° − ∠ABC. Из суммы углов треугольника ABM следует: ∠BAM = (180° − ∠ABC) : 2 = ∠BAD : 2. Следовательно, AM — биссектриса угла BAD.

   б) В параллелограмме AB = CD = 8 см, а по условию BM = AB = 8 см. Поэтому BC = BM + MC = 8 + 4 = 12 см. Периметр равен 2(AB + BC) = 2(8 + 12) = 40 см.

Дополнительное задание. Сторона квадрата равна четверти периметра: 22 : 4 = 5,5 мм.

Ответ: 1) 20°, 90°, 90°, 160°; 2) ∠KMO = 50°, ∠KOM = 90°, ∠MKO = 40°; 3а) AM — биссектриса угла BAD; 3б) 40 см; сторона квадрата — 5,5 мм.