Вариант 2 № 1. Найдите углы треугольника АВС, если ∠ В на 40° больше ∠ А, а С в пять раз больше ∠A. № 2. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) биссектрисы CD и ВЕ пересекаются в точке О. ∠BOC = 95°. Найдите острые углы треугольника АBC. № 3. В треугольнике ABC угол C равен 90°, а угол в равен 70°. На луче СВ отложен отрезок CD, равный СА. Найдите углы треугольника ABD.

Решение:

Вариант 2

№ 1.

Пусть ∠A = x.

• Тогда ∠B = x + 40° (∠B больше ∠A на 40°).
• ∠C = 5x (∠C в пять раз больше ∠A).

Сумма углов треугольника: ∠A + ∠B + ∠C = 180°

• x + (x + 40°) + 5x = 180°
• 7x + 40° = 180°
• 7x = 140°
• x = 20°

• ∠A = 20°
• ∠B = 20° + 40° = 60°
• ∠C = 5 * 20° = 100°

Ответ: ∠A = 20°, ∠B = 60°, ∠C = 100°.

№ 2.

В прямоугольном треугольнике ABC, ∠C = 90°.

CD и BE — биссектрисы, пересекаются в точке O. ∠BOC = 95°.

Рассмотрим треугольник BOC. Сумма углов треугольника BOC:

• ∠OBC + ∠OCB + ∠BOC = 180°
• ∠OBC + ∠OCB + 95° = 180°
• ∠OBC + ∠OCB = 85°

Так как BE — биссектриса ∠B, то ∠OBC = ∠B / 2.

Так как CD — биссектриса ∠C, то ∠OCB = ∠C / 2.

Подставляем в уравнение:

• (∠B / 2) + (∠C / 2) = 85°
• ∠B + ∠C = 170°

Мы знаем, что ∠C = 90° (прямоугольный треугольник).

• ∠B + 90° = 170°
• ∠B = 80°

Теперь найдем ∠A:

• ∠A + ∠B + ∠C = 180°
• ∠A + 80° + 90° = 180°
• ∠A + 170° = 180°
• ∠A = 10°

Ответ: ∠A = 10°, ∠B = 80°.

№ 3.

В треугольнике ABC: ∠C = 90°, ∠B = 70°.

Найдем ∠A: ∠A = 180° - 90° - 70° = 20°.

На луче CB отложен отрезок CD, равный СА.

Это означает, что точка D находится на продолжении отрезка CB за точку B, или на отрезке CB, если CB > CA. Но CA - это катет, а CB - гипотенуза. CA < CB.

Если D находится на луче CB, то ∠ACB = 90°.

Рассмотрим треугольник ACD. CD = CA. Это равнобедренный треугольник.

Угол ∠A (в треугольнике ABC) = 20°.

Угол ∠C (в треугольнике ABC) = 90°.

Угол ∠B (в треугольнике ABC) = 70°.

Рассмотрим треугольник ACD. CA = CD. Углы при основании AD равны.

• ∠CAD = ∠CDA

Угол ∠ACB = 90°.

Угол ∠BCD = 180° - ∠ACB = 180° - 90° = 90° (так как D лежит на луче CB, значит C, B, D - коллинеарны).

В треугольнике ACD:

• ∠ACD = 90° (так как D лежит на луче CB, угол между AC и CB - 90°.)
• CA = CD

Это равнобедренный прямоугольный треугольник.

• ∠CAD = ∠CDA = 45°

Теперь рассмотрим треугольник ABD.

• ∠A (в треугольнике ABD) = ∠BAC + ∠CAD = 20° + 45° = 65°
• ∠B (в треугольнике ABD) = ∠ABC = 70°
• ∠ADB = 45°

Сумма углов треугольника ABD: ∠A + ∠B + ∠ADB = 65° + 70° + 45° = 180°.

Ответ: ∠BAD = 65°, ∠ABD = 70°, ∠ADB = 45°.