Вариант №2. 1. Найти решения уравнения: x³ − 2x² − 15x = 0. 2. Найти корни уравнения: 3x² − 8x − 3 = 0. 3. Найти переменную: (x² + 3x)² − 2(x² + 3x) − 8 = 0. 4. Решить уравнения: а) (x² − 15)/(x − 5) = 2x/(x − 5); б) (x² + x − 12)/(x − 3) = (18 − 4x)/(x − 9). 5. Задача. Моторная лодка прошла 7 км по течению и 10 км против течения реки, затратив на путь против течения на 30 мин меньше, чем против течения. Собственная скорость лодки 12 км/ч. Найти скорость лодки против течения.

Question

Вопрос:

Фото задания

Вариант №2. 1. Найти решения уравнения: x³ − 2x² − 15x = 0. 2. Найти корни уравнения: 3x² − 8x − 3 = 0. 3. Найти переменную: (x² + 3x)² − 2(x² + 3x) − 8 = 0. 4. Решить уравнения: а) (x² − 15)/(x − 5) = 2x/(x − 5); б) (x² + x − 12)/(x − 3) = (18 − 4x)/(x − 9). 5. Задача. Моторная лодка прошла 7 км по течению и 10 км против течения реки, затратив на путь против течения на 30 мин меньше, чем против течения. Собственная скорость лодки 12 км/ч. Найти скорость лодки против течения.

Accepted Answer

1. Вынесем общий множитель: \(x^3-2x^2-15x=x(x^2-2x-15)=x(x-5)(x+3)=0\). Следовательно, \(x=0\), \(x=5\) или \(x=-3\).

2. Разложим на множители: \(3x^2-8x-3=(3x+1)(x-3)=0\). Поэтому \(x=-\frac13\) или \(x=3\).

3. Обозначим \(y=x^2+3x\). Получим \(y^2-2y-8=0\), то есть \((y-4)(y+2)=0\).

Если \(x^2+3x=4\), то \((x-1)(x+4)=0\), откуда \(x=1\) или \(x=-4\). Если \(x^2+3x=-2\), то \((x+1)(x+2)=0\), откуда \(x=-1\) или \(x=-2\).

4а. Ограничение: \(x\ne5\). Умножаем на \(x-5\): \(x^2-15=2x\), или \((x-5)(x+3)=0\). Значение \(5\) исключается; остаётся \(x=-3\).

4б. Ограничения: \(x\ne3\), \(x\ne9\). Так как \(x^2+x-12=(x+4)(x-3)\), левая часть сокращается до \(x+4\). Тогда \(x+4=\frac{18-4x}{x-9}\), откуда \((x+4)(x-9)=18-4x\) и \(x^2-x-54=0\). Следовательно, \(x=\frac{1\pm\sqrt{217}}{2}\). Оба корня допустимы.

5. В условии сказано, что на путь против течения затрачено на 30 минут меньше, чем на путь против течения. Это противоречие, поэтому, вероятно, во второй части сравнения пропущены слова «по течению». Решение ниже основано на таком прочтении.

Пусть скорость течения равна \(c\) км/ч. Тогда скорость лодки по течению — \(12+c\), против течения — \(12-c\). По условию время против течения на 0,5 ч больше времени по течению:

\(\frac{10}{12-c}-\frac{7}{12+c}=0.5\).

Умножая на \(2(12-c)(12+c)\), получаем \(20(12+c)-14(12-c)=144-c^2\), откуда \(c^2+34c-72=0\). Корни: \(c=2\) и \(c=-36\). Отрицательная скорость течения не подходит, значит, скорость лодки против течения равна \(12-2=10\) км/ч.

Ответ: по пунктам 1–4 решения приведены выше; в задаче 5 при предполагаемом исправлении условия скорость против течения равна 10 км/ч. Уточните формулировку задачи 5.