Вариант 2. 1. Не выполняя построения, ответьте на вопрос, принадлежит ли графику функции y = sin x точка: а) M(π/3; 1/2); б) K(2π/3; √3/2). 2. а) Постройте график функции y = sin x + 0,5; б) укажите область значений данной функции; в) найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [π/6; π].

1.

1. Для точки M: \(\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}{2}\ne\frac12\), поэтому точка не принадлежит графику.
2. Для точки K: \(\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\), поэтому точка принадлежит графику.

2а. График \(y=\sin x+0.5\) получается из графика \(y=\sin x\) сдвигом вверх на 0.5. Основные точки одного периода: \((0;0.5),\ (\frac\pi2;1.5),\ (\pi;0.5),\ (\frac{3\pi}2;-0.5),\ (2\pi;0.5)\). Через них проводится синусоида с периодом \(2\pi\).

2б. Из неравенства \(-1\le\sin x\le1\) получаем \(-0.5\le\sin x+0.5\le1.5\). Область значений: \([-0.5;1.5]\).

2в. На отрезке \([\frac\pi6;\pi]\) функция достигает максимума при \(x=\frac\pi2\): \(y_{\max}=1+0.5=1.5\). Минимальное значение на концах и в точках монотонности: \(\sin\frac\pi6=\frac12\), поэтому \(y(\frac\pi6)=1\); \(y(\pi)=0.5\). Следовательно, минимум равен 0.5.

Ответ: 1а) не принадлежит; 1б) принадлежит; 2б) \([-0.5;1.5]\); 2в) наибольшее значение 1.5, наименьшее значение 0.5.