Вариант 2. 1. Отрезки МЕ и РК являются диаметрами окружности с центром О. Докажите, что: а) <EMP=<MPK б) отрезки МК и РЕ равны. 2. В окружности с центром О проведены хорды АВ и CD. Докажите, что AB=CD, если <AOC=<BOD.

Задание 1:

Дано: ME и PK — диаметры окружности с центром O.

Доказать: а) <EMP=<MPK; б) MK = PE.

Решение:

а) Доказательство равенства углов <EMP и <MPK:

1. Так как ME и PK — диаметры, проходящие через центр O, то O является серединой каждого из них. Следовательно, MO = OE = PO = OK = R (радиус окружности).
2. Рассмотрим треугольники <MOP и <EOK. Они вертикальные, поэтому <MOP = <EOK.
3. Треугольники <MOP и <EOK равны по двум сторонам и углу между ними (MO = OE, PO = OK, <MOP = <EOK).
4. Рассмотрим треугольники <EPO и <KMO. Они также вертикальные, поэтому <EPO = <KMO.
5. Рассмотрим треугольники <EMP и <MPK.
6. ME — диаметр, значит, <MPE — вписанный угол, опирающийся на диаметр. Следовательно, <MPE = 90°.
7. PK — диаметр, значит, <PKM — вписанный угол, опирающийся на диаметр. Следовательно, <PKM = 90°.
8. Рассмотрим треугольники <EMP и <MPK.
9. ME = PK (диаметры равны).
10. MP — общая сторона.
11. Треугольники <EMP и <MPK являются прямоугольными.
12. По теореме Пифагора в <EMP: $$ME^2 = MP^2 + EP^2$$.
13. По теореме Пифагора в <MPK: $$PK^2 = MP^2 + MK^2$$.
14. Так как ME = PK, то $$MP^2 + EP^2 = MP^2 + MK^2$$.
15. Следовательно, $$EP^2 = MK^2$$, что означает EP = MK.
16. Теперь докажем равенство углов: <EMP = <MPK.
17. В равных прямоугольных треугольниках <EMP и <MPK (мы уже доказали, что EP = MK, и MP — общая сторона), соответствующие углы равны.
18. Углы <EMP и <MPK не являются соответствующими в данных треугольниках.
19. Рассмотрим треугольники <MOP и <EOK. Они равны.
20. Рассмотрим треугольники <MOK и <POE. Они равны.
21. Углы <EMP и <MPK являются частью более сложных фигур.
22. Давайте вернемся к равенству треугольников <MOP и <EOK. Из их равенства следует, что MP = EK.
23. Из равенства треугольников <MOK и <POE следует, что MK = PE. (Это уже часть б).
24. Для доказательства <EMP=<MPK:
25. Рассмотрим треугольники <MPE и <PKM. Они прямоугольные.
26. ME = PK (диаметры).
27. PE = MK (доказано в б).
28. Треугольники <MPE и <PKM равны по трем сторонам (гипотенуза и катеты).
29. Следовательно, равны и соответствующие углы <EMP = <MPK.

б) Доказательство равенства отрезков MK и PE:

1. Рассмотрим треугольники <MOK и <POE.
2. MO = PO = OE = OK = R (радиусы).
3. <MOK = <POE (вертикальные углы).
4. Треугольники <MOK и <POE равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
5. Следовательно, соответствующие стороны MK и PE равны.

Задание 2:

Дано: AB и CD — хорды окружности с центром O. <AOC=<BOD.

Доказать: AB = CD.

Решение:

1. Рассмотрим треугольники <AOC и <BOD.
2. AO = OC = BO = OD = R (радиусы окружности).
3. По условию <AOC = <BOD.
4. Треугольники <AOC и <BOD равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
5. Следовательно, соответствующие стороны AB и CD равны.