Вариант 2. 1. Представьте в виде дроби: а) $\frac{2a}{5x^9y}\cdot17x^7y$; б) $\frac{24b^2c}{3a^6}:\frac{16bc}{a^5}$; в) $\frac{5x+10}{x-1}\cdot\frac{x^2-1}{x^2-4}$; г) $\frac{y+c}{c}\cdot\left(\frac{c}{y}-\frac{c}{y+c}\right)$. 2. Постройте график функции $y=-\frac{6}{x}$. Какова область определения функции? При каких значениях $x$ функция принимает положительные значения? 3. Докажите, что при всех значениях $x\ne\pm2$ значение выражения $\frac{x}{x+2}-\frac{(x-2)^2}{2}\left(\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x^2-4x+4}\right)$ не зависит от $x$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 2. 1. Представьте в виде дроби: а) $\frac{2a}{5x^9y}\cdot17x^7y$; б) $\frac{24b^2c}{3a^6}:\frac{16bc}{a^5}$; в)…$ Фото задания

Вариант 2. 1. Представьте в виде дроби: а) $\frac{2a}{5x^9y}\cdot17x^7y$; б) $\frac{24b^2c}{3a^6}:\frac{16bc}{a^5}$; в) $\frac{5x+10}{x-1}\cdot\frac{x^2-1}{x^2-4}$; г) $\frac{y+c}{c}\cdot\left(\frac{c}{y}-\frac{c}{y+c}\right)$. 2. Постройте график функции $y=-\frac{6}{x}$. Какова область определения функции? При каких значениях $x$ функция принимает положительные значения? 3. Докажите, что при всех значениях $x\ne\pm2$ значение выражения $\frac{x}{x+2}-\frac{(x-2)^2}{2}\left(\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x^2-4x+4}\right)$ не зависит от $x$.

Accepted Answer

1. Представим каждое выражение в виде одной дроби.

а) Сократим степени одинаковых переменных: $\frac{2a}{5x^9y}\cdot17x^7y=\frac{34ax^7y}{5x^9y}=\frac{34a}{5x^2}$. Ограничения: $x\ne0$, $y\ne0$.
б) Заменим деление умножением на обратную дробь: $\frac{24b^2c}{3a^6}:\frac{16bc}{a^5}=\frac{24b^2c}{3a^6}\cdot\frac{a^5}{16bc}=\frac{b}{2a}$. Ограничения исходной записи: $a\ne0$, $b\ne0$, $c\ne0$.
в) Разложим на множители и сократим общие множители: $\frac{5(x+2)}{x-1}\cdot\frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)}=\frac{5(x+1)}{x-2}$. Ограничения: $x\ne1,2,-2$.
г) Приведём разность в скобках к общему знаменателю: $\frac{c}{y}-\frac{c}{y+c}=\frac{c(y+c)-cy}{y(y+c)}=\frac{c^2}{y(y+c)}$. Следовательно, $\frac{y+c}{c}\cdot\frac{c^2}{y(y+c)}=\frac{c}{y}$. Ограничения: $c\ne0$, $y\ne0$, $y\ne-c$.

2. Построим график функции $y=-\frac6x$. График — гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях; оси координат являются асимптотами.

При $x\ne0$ знак выражения $-6/x$ положителен, если $x$ отрицателен.

Ответ: область определения — все действительные числа, кроме нуля; функция положительна при $x<0$.

3. Докажем независимость значения от $x$.

Разложим знаменатели: $x^2-4=(x-2)(x+2)$, $x^2-4x+4=(x-2)^2$.
Сложим дроби в скобках: $\frac1{(x-2)(x+2)}+\frac1{(x-2)^2}=\frac{(x-2)+(x+2)}{(x-2)^2(x+2)}=\frac{2x}{(x-2)^2(x+2)}$.
Умножим на вынесенный множитель и вычтем: $\frac{x}{x+2}-\frac{(x-2)^2}{2}\cdot\frac{2x}{(x-2)^2(x+2)}=\frac{x}{x+2}-\frac{x}{x+2}=0$.

Ответ: значение выражения равно 0 и не зависит от $x$.