Вариант 2. 1. Разложите на простые множители числа: 78 и 104. 2. Найдите наибольший общий делитель (НОД) чисел 72 и 108. 3. Найдите наименьшее общее кратное (НОК) чисел 32 и 48. 4. Докажите, что числа 57 и 64 взаимно простые. 5. В спортивном лагере отряды формируются так, чтобы в каждом было одинаковое количество человек. В одном виде соревнований участвуют группы по 20 человек, в другом — по 30 человек. Какое наименьшее количество человек может быть в отряде, чтобы отряд можно было полностью распределить в группы обоих видов без остатка?

1. Разложим числа на простые множители:

78 = 2 · 39 = 2 · 3 · 13.

104 = 2 · 52 = 2³ · 13.

2. 72 = 2³ · 3², 108 = 2² · 3³. Берём общие множители в наименьших степенях: НОД(72, 108) = 2² · 3² = 36.

3. 32 = 2⁵, 48 = 2⁴ · 3. Берём множители в наибольших степенях: НОК(32, 48) = 2⁵ · 3 = 96.

4. 57 = 3 · 19, а 64 = 2⁶. Общих простых множителей нет, поэтому НОД(57, 64) = 1. Следовательно, числа взаимно простые.

5. Количество человек должно делиться и на 20, и на 30. Разложим числа: 20 = 2² · 5, 30 = 2 · 3 · 5. Тогда НОК(20, 30) = 2² · 3 · 5 = 60.

Ответ: 60 человек.