Вариант 2. 1. Разность двух углов параллелограмма равна 40°. Найдите все углы параллелограмма. 2. В параллелограмме ABCD биссектриса угла A делит сторону BC на отрезки BK и KC. Найдите периметр параллелограмма, если известно, что KC = 3 см и AD = 10 см. 3. Один из углов ромба равен 120°, а диагональ, исходящая из вершины этого угла, равна 10 см. Найдите периметр ромба.

1. Соседние углы параллелограмма в сумме равны 180°. Пусть больший угол равен x, меньший — y. Тогда x + y = 180°, x − y = 40°. Складывая уравнения, получаем 2x = 220°, поэтому x = 110°, y = 70°. Противоположные углы равны.

2. В параллелограмме AD = BC = 10 см. Поэтому BK = BC − KC = 10 − 3 = 7 см. Из свойства биссектрисы угла A и параллельности BK ∥ AD следует AB = BK = 7 см. Тогда P = 2(AB + AD) = 2(7 + 10) = 34 см.

3. Диагональ ромба, соединяющая вершину данного угла с противоположной вершиной, делит ромб на два треугольника. В каждом таком треугольнике стороны ромба равны, а угол между ними равен 120°. По теореме косинусов диагональ d удовлетворяет равенству d² = a² + a² − 2a² cos 120° = 3a². Однако диагональ, соединяющая противоположные вершины, при угле 120° имеет длину a√3; следовательно, a = 10/√3 см. Периметр равен 4a = 40/√3 см = 40√3/3 см.

Ответ: 1) 110°, 70°, 110°, 70°; 2) 34 см; 3) 40√3/3 см.