Вариант 2. 1. Решить неравенство: −x² + 3x + 4 > 0. 2. Решить уравнения: а) 3x³ − 27x = 0; б) x⁴ − 6x² + 8 = 0. 3. Решите неравенство методом интервалов: а) (2x − 3,2)(6x − 1,8)(2x − 8) > 0; б) (5 − x)(x − 7)(x − 9)² ≥ 0. 4. Решите дробно-рациональное уравнение: (x² − 8x − 9)/(x² − 1) = 0. 5. Упростить выражение: (y² + 6y + 9)/(x − 5) · (y² − 9)/(x² − 25) − (5y + 3x)/(y − 3).

1. Разложим квадратный трёхчлен: −x² + 3x + 4 = −(x − 4)(x + 1). Нули равны −1 и 4. Парабола направлена ветвями вниз, значит, выражение положительно между нулями.

Ответ: x ∈ (−1; 4).

2а. Вынесем общий множитель: 3x³ − 27x = 3x(x² − 9) = 3x(x − 3)(x + 3) = 0. Следовательно, x = 0, x = 3 или x = −3.

Ответ: x ∈ {−3; 0; 3}.

2б. Положим t = x². Тогда t² − 6t + 8 = (t − 2)(t − 4) = 0, откуда x² = 2 или x² = 4.

Ответ: x ∈ {−2; −√2; √2; 2}.

3а. Нули множителей: x = 0,3, x = 1,6 и x = 4. Все корни простые. Знак произведения меняется при переходе через каждый корень; при x > 4 произведение положительно. Для строгого неравенства нули не включаем.

Ответ: x ∈ (−∞; 0,3) ∪ (1,6; 4).

3б. Нули: 5, 7 и 9; корень 9 имеет чётную кратность, поэтому при переходе через него знак не меняется. На интервале (5; 7) произведение положительно; при x > 7 оно отрицательно, кроме нуля при x = 9. С учётом нестрогого знака включаем нули.

Ответ: x ∈ [5; 7] ∪ {9}.

4. Для равенства дроби нулю числитель должен быть равен нулю, а знаменатель — отличен от нуля. Разложим: x² − 8x − 9 = (x − 9)(x + 1), x² − 1 = (x − 1)(x + 1). Кандидаты: x = 9 и x = −1. Значение −1 запрещено, так как обращает знаменатель в ноль; 9 допустимо.

Ответ: x = 9.

5. Область допустимых значений: x ≠ 5, x ≠ −5, y ≠ 3. Разложим многочлены на множители:

((y + 3)²/(x − 5)) · ((y − 3)(y + 3)/((x − 5)(x + 5))) − (5y + 3x)/(y − 3).

В первой части перемножим числители и знаменатели. Получаем упрощённое выражение:

(y + 3)³(y − 3)/((x − 5)²(x + 5)) − (5y + 3x)/(y − 3).

Ответ: (y + 3)³(y − 3)/((x − 5)²(x + 5)) − (5y + 3x)/(y − 3), при x ≠ ±5, y ≠ 3.