Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Вариант 2. 1. Сравните числа: 5^0,9 и 5^1,2. Обоснуйте, используя свойство монотонности. 2. Определите, возрастает или…Фото задания

Ответ:

  1. Основание 5 больше 1, поэтому функция 5x возрастает. Так как 0,9<1,2, то 50,9<51,2.

  2. Поскольку 0<1/7<1, функция y=(1/7)x убывает.

    Область определения: \(D(y)=\mathbb{R}\). Значения функции положительны: \(E(y)=(0;+\infty)\).

  3. Подставим заданные значения x:

    \(y(-2)=3^{-2}=\frac{1}{9}\); \(y(1)=3^1=3\).

  4. Это график \(y=3^x\), сдвинутый на 1 единицу влево и на 2 вниз. Функция возрастает, горизонтальная асимптота: \(y=-2\). Для построения подходят точки \((-1;-1)\), \((0;1)\), \((1;7)\).

  5. Так как 0<1/4<1, функция убывает. На отрезке [-1;2] наибольшее значение достигается при x=-1, наименьшее — при x=2:

    \(y(-1)=(1/4)^{-1}=4\); \(y(2)=(1/4)^2=1/16\).

    Наибольшее значение — 4, наименьшее — 1/16.

    1. \(27^x=9\Rightarrow3^{3x}=3^2\). Приравниваем показатели: \(3x=2\), поэтому \(x=2/3\).

    2. Положим \(t=4^x\), где \(t>0\). Тогда \(16^x=t^2\), и получаем:

      \(t^2-5t+4=0\); \((t-1)(t-4)=0\).

      Значит, \(t=1\) или \(t=4\). Поэтому \(4^x=1\Rightarrow x=0\), либо \(4^x=4\Rightarrow x=1\).

      Ответ: а) \(2/3\); б) 0 и 1.

    1. \(1/27=(1/3)^3\). Основание 1/3 меньше 1, поэтому знак при сравнении показателей меняется: \((1/3)^x<(1/3)^3\Rightarrow x>3\).

    2. Вынесем общую степень:

      \(3^{x+2}-3^x=(9-1)3^x=8\cdot3^x\).

      Тогда \(8\cdot3^x\le78\Rightarrow3^x\le39/4\). Функция 3x возрастает, поэтому \(x\le\log_3(39/4)\).

    3. Положим \(t=3^x\), где \(t>0\). Тогда \(9^x=t^2\):

      \(t^2-10t+9>0\Rightarrow(t-1)(t-9)>0\).

      С учётом \(t>0\): \(0<t<1\) или \(t>9\). Следовательно, \(x<0\) или \(x>2\).

      Ответ: в) \(x>3\); г) \(x\le\log_3(39/4)\); д) \(x\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty)\).