Вариант 2. 1. Упростить выражение: \(a(a+2b)-(a+b)^2\). 2. Решить уравнение: \(\frac{4}{x-6}=\frac{1}{x+3}\). 3. Сократить дробь: \(\frac{m^2-4}{m^2-2m}\). 4. Решить систему неравенств: \(\begin{cases}3x-2\ge x+1,\\4-2x\le x-2.\end{cases}\) 5. Построить график функции: \(y=x^2-6x+5\). 6. Решить систему уравнений: \(\begin{cases}x+y=4,\\x^2-y=2.\end{cases}\) 7. Вычислить значение выражения: \(\frac{7^{-7}\cdot7^{-8}}{7^{-13}}\).

1. Раскроем скобки:

\[a(a+2b)-(a+b)^2=a^2+2ab-(a^2+2ab+b^2)=-b^2.\]

Ответ: \(-b^2\).

2. ОДЗ: \(x\ne6\), \(x\ne-3\). Перемножим крест-накрест:

\[4(x+3)=x-6.\]

\[4x+12=x-6\Rightarrow3x=-18\Rightarrow x=-6.\]

Корень входит в ОДЗ.

Ответ: \(x=-6\).

3. Разложим на множители:

\[\frac{m^2-4}{m^2-2m}=\frac{(m-2)(m+2)}{m(m-2)}=\frac{m+2}{m}.\]

Ограничения: \(m\ne0\), \(m\ne2\).

Ответ: \(\frac{m+2}{m}\).

4. Решим неравенства:

\[3x-2\ge x+1\Rightarrow2x\ge3\Rightarrow x\ge\frac32.\]

\[4-2x\le x-2\Rightarrow6\le3x\Rightarrow x\ge2.\]

Пересечение решений: \([2;+\infty)\).

Ответ: \(x\in[2;+\infty)\).

5. Преобразуем функцию:

\[y=x^2-6x+5=(x-3)^2-4.\]

График — парабола с ветвями вверх, вершиной \((3;-4)\), осью симметрии \(x=3\). Нули функции:

\[x^2-6x+5=0\Rightarrow x=1\text{ или }x=5.\]

Точки для построения: \((1;0)\), \((2;-3)\), \((3;-4)\), \((4;-3)\), \((5;0)\).

Ответ: парабола \(y=(x-3)^2-4\) с вершиной \((3;-4)\).

6. Из первого уравнения: \(y=4-x\). Подставим во второе:

\[x^2-(4-x)=2\Rightarrow x^2+x-6=0.\]

\[(x-2)(x+3)=0,\qquad x=2\text{ или }x=-3.\]

Тогда \(y=2\) или \(y=7\).

Ответ: \((2;2)\), \((-3;7)\).

7. Применим свойства степеней:

\[\frac{7^{-7}\cdot7^{-8}}{7^{-13}}=7^{-7-8-(-13)}=7^{-2}=\frac1{49}.\]

Ответ: \(\frac1{49}\).