Вариант 2. 1. Упростите выражение: а) 2√2 + √50 − √98; б) (3√5 − √20)√5; в) (√3 + √2)². 2. Сравните (1/2)√60 и 10√(1/5). 3. Сократите дробь: а) (5 − √5)/(√10 − √2); б) (b − 4)/(√b − 2). 4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе: а) 2/(3√7); б) 4/(√11 + 3). 5. Докажите, что значение выражения 1/(1 − 3√5) + 1/(1 + 3√5) есть число рациональное. 6. При каких значениях x дробь (√x − 2)/(x − 4) принимает наибольшее значение?

1. Упростим выражения.

а) \(2\sqrt2+\sqrt{50}-\sqrt{98}=2\sqrt2+5\sqrt2-7\sqrt2=0\).

б) \((3\sqrt5-\sqrt{20})\sqrt5=(3\sqrt5-2\sqrt5)\sqrt5=5\).

в) \((\sqrt3+\sqrt2)^2=3+2\sqrt6+2=5+2\sqrt6\).

2. \(\frac12\sqrt{60}=\sqrt{15}\), а \(10\sqrt{\frac15}=2\sqrt5=\sqrt{20}\). Так как \(15<20\), то \(\sqrt{15}<\sqrt{20}\).

3. Сократим дроби.

а) \(5-\sqrt5=\sqrt5(\sqrt5-1)\), а \(\sqrt{10}-\sqrt2=\sqrt2(\sqrt5-1)\). Следовательно, \(\frac{5-\sqrt5}{\sqrt{10}-\sqrt2}=\frac{\sqrt5}{\sqrt2}=\frac{\sqrt{10}}2\).

б) При \(b\geq0\), \(b\ne4\): \(b-4=(\sqrt b-2)(\sqrt b+2)\), поэтому \(\frac{b-4}{\sqrt b-2}=\sqrt b+2\).

4. Освободим знаменатели от корней.

а) \(\frac2{3\sqrt7}\cdot\frac{\sqrt7}{\sqrt7}=\frac{2\sqrt7}{21}\).

б) \(\frac4{\sqrt{11}+3}\cdot\frac{\sqrt{11}-3}{\sqrt{11}-3}=\frac{4(\sqrt{11}-3)}{11-9}=2(\sqrt{11}-3)\).

5. Сложим дроби, используя формулу разности квадратов:

\(\frac1{1-3\sqrt5}+\frac1{1+3\sqrt5}=\frac{(1+3\sqrt5)+(1-3\sqrt5)}{1-(3\sqrt5)^2}=\frac2{-44}=-\frac1{22}\).

Результат рационален, что и требовалось доказать.

6. Область допустимых значений: \(x\geq0\), \(x\ne4\). При этих значениях

\(\frac{\sqrt x-2}{x-4}=\frac1{\sqrt x+2}\).

Знаменатель возрастает при увеличении \(x\), поэтому наибольшее значение получается при наименьшем допустимом значении \(x=0\). Оно равно \(\frac12\).

Ответ: наибольшее значение дробь принимает при \(x=0\).