Вариант 2. 1. Упростите выражение (х-2)²-(х-1)(х+2). 2. Решите систему уравнений: 3x+5y=12, x-2y=-7. 3. а) Постройте график функции y=-2x+2. б) Определите, проходит ли график функции через точку A(10; -18). 4. Разложите на множители: a) 3x³y³+3x²y²-6xy²; б) 2a+a²-b²-26. 5. Из поселка на станцию, расстояние между которыми 32 км, выехал велосипедист. Через 0,5 ч навстречу ему со станции выехал мотоциклист и встретил велосипедиста через 0,5 ч после своего выезда. Известно, что скорость мотоциклиста на 28 км/ч больше скорости велосипедиста. Найдите скорость каждого из них.

Вариант 2

1. Упрощение выражения:

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[ (x-2)^2 - (x-1)(x+2) = (x^2 - 4x + 4) - (x^2 + 2x - x - 2) \]

\[ = (x^2 - 4x + 4) - (x^2 + x - 2) \]

\[ = x^2 - 4x + 4 - x^2 - x + 2 \]

\[ = (x^2 - x^2) + (-4x - x) + (4 + 2) \]

\[ = -5x + 6 \]

Ответ: \( -5x + 6 \)

2. Решение системы уравнений:

Система:

\[ \begin{cases} 3x + 5y = 12 \\ x - 2y = -7 \end{cases} \]

Из второго уравнения выразим x:

\[ x = 2y - 7 \]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[ 3(2y - 7) + 5y = 12 \]

\[ 6y - 21 + 5y = 12 \]

\[ 11y = 12 + 21 \]

\[ 11y = 33 \]

\[ y = 3 \]

Теперь найдем x:

\[ x = 2(3) - 7 = 6 - 7 = -1 \]

Ответ: \( x = -1, y = 3 \)

3. График функции:

а) График функции \( y = -2x + 2 \) — это прямая.

Чтобы построить ее, найдем две точки:

• Если \( x = 0 \), то \( y = -2(0) + 2 = 2 \). Точка (0; 2).
• Если \( y = 0 \), то \( 0 = -2x + 2 \), \( 2x = 2 \), \( x = 1 \). Точка (1; 0).

б) Проверим, проходит ли график через точку A(10; -18).

Подставим координаты точки в уравнение функции:

\[ -18 = -2(10) + 2 \]

\[ -18 = -20 + 2 \]

\[ -18 = -18 \]

Это равенство верно. Следовательно, график функции проходит через точку A(10; -18).

Ответ: График проходит через точку A(10; -18).

4. Разложение на множители:

а) \( 3x^3y^3 + 3x^2y^2 - 6xy^2 \)

Вынесем общий множитель \( 3xy^2 \):

\[ 3xy^2(x^2y + xy - 2) \]

б) \( 2a + a^2 - b^2 - 2b \)

Перегруппируем слагаемые:

\[ (a^2 + 2a) - (b^2 + 2b) \]

Это выражение не раскладывается на простые множители в общем виде без дополнительных условий. Возможно, в условии была опечатка, например, \( a^2 - 2ab + b^2 \) или \( a^2 - b^2 \).

Ответ: а) \( 3xy^2(x^2y + xy - 2) \); б) Не раскладывается на простые множители в данном виде.

5. Задача про велосипедиста и мотоциклиста:

Пусть \( v_{вел} \) — скорость велосипедиста (км/ч).

Скорость мотоциклиста: \( v_{мото} = v_{вел} + 28 \) км/ч.

Расстояние между поселком и станцией — 32 км.

Велосипедист выехал из поселка. Через 0,5 часа навстречу ему выехал мотоциклист со станции.

Время движения велосипедиста до встречи: \( 0,5 + 0,5 = 1 \) час.

Расстояние, пройденное велосипедистом: \( S_{вел} = v_{вел} \times 1 = v_{вел} \) км.

Время движения мотоциклиста до встречи: \( 0,5 \) часа.

Расстояние, пройденное мотоциклистом: \( S_{мото} = v_{мото} \times 0,5 = (v_{вел} + 28) \times 0,5 \) км.

Сумма расстояний равна общему расстоянию:

\[ S_{вел} + S_{мото} = 32 \]

\[ v_{вел} + (v_{вел} + 28) \times 0,5 = 32 \]

\[ v_{вел} + 0,5 v_{вел} + 14 = 32 \]

\[ 1,5 v_{вел} = 32 - 14 \]

\[ 1,5 v_{вел} = 18 \]

\[ v_{вел} = \(\frac{18}{1,5}\) = \(\frac{180}{15}\) = 12 \) км/ч.

Скорость мотоциклиста:

\[ v_{мото} = 12 + 28 = 40 \) км/ч.

Ответ: Скорость велосипедиста — 12 км/ч, скорость мотоциклиста — 40 км/ч.