Вариант 2: 1. Упростите выражение (x-2)²-(x-1)(x+2). 2. Решите систему уравнений: 3x+5y=12, x-2y=-7. 3. а) Постройте график функции y=-2x+2. б) Определите, проходит ли график функции через точку A(10; -18). 4. Разложите на множители: а) 3x²y²+8x²-6xy²; б) 2a+a²-b²-2b. 5. Из поселка на станцию, расстояние между которыми 32 км, выехал велосипедист. Через 0,5 ч навстречу ему со станции выехал мотоциклист и встретил велосипедиста через 0,5 ч после своего выезда. Известно, что скорость мотоциклиста на 28 км/ч больше скорости велосипедиста. Найдите скорость каждого из них.

Вариант 2

1. Упрощение выражения:

\( (x-2)^2 - (x-1)(x+2) = (x^2 - 4x + 4) - (x^2 + 2x - x - 2) \)

\( = x^2 - 4x + 4 - (x^2 + x - 2) \)

\( = x^2 - 4x + 4 - x^2 - x + 2 \)

\( = -5x + 6 \)

2. Решение системы уравнений:

Система:

\( \begin{cases} 3x+5y=12 \\ x-2y=-7 \end{cases} \)

Выразим \( x \) из второго уравнения: \( x = 2y - 7 \).

Подставим в первое уравнение:

\( 3(2y - 7) + 5y = 12 \)

\( 6y - 21 + 5y = 12 \)

\( 11y = 33 \)

\( y = 3 \)

Найдем \( x \):

\( x = 2(3) - 7 = 6 - 7 = -1 \)

Ответ: \( x = -1, y = 3 \).

3. График функции:

а) График функции \( y = -2x + 2 \) — прямая.

Найдем две точки для построения:

• Если \( x = 0 \), то \( y = -2(0) + 2 = 2 \). Точка (0; 2).
• Если \( y = 0 \), то \( 0 = -2x + 2 \), \( 2x = 2 \), \( x = 1 \). Точка (1; 0).

б) Проверим, проходит ли график через точку \( A(10; -18) \).

Подставим координаты точки в уравнение функции:

\( -18 = -2(10) + 2 \)

\( -18 = -20 + 2 \)

\( -18 = -18 \) (Истинно)

Ответ: График функции проходит через точку A(10; -18).

4. Разложение на множители:

а) \( 3x^2y^2 + 8x^2 - 6xy^2 \) — данное выражение не раскладывается на простые множители стандартными методами.

б) \( 2a + a^2 - b^2 - 2b = (a^2 + 2a) - (b^2 + 2b) \)

Это можно переписать как \( (a^2 - b^2) + 2(a - b) = (a-b)(a+b) + 2(a-b) = (a-b)(a+b+2) \).

5. Задача о скорости:

Пусть \( v_{вел} \) — скорость велосипедиста, \( v_{мото} \) — скорость мотоциклиста.

По условию: \( v_{мото} = v_{вел} + 28 \) км/ч.

Расстояние между поселком и станцией: 32 км.

Велосипедист выехал первым.

Через 0,5 часа навстречу ему выехал мотоциклист.

Время движения мотоциклиста до встречи: 0,5 ч.

Время движения велосипедиста до встречи: 0,5 ч (мотоциклист) + 0,5 ч (после выезда мотоциклиста) = 1 ч.

Расстояние, которое проехал велосипедист за 1 час: \( S_{вел} = v_{вел} \times 1 = v_{вел} \) км.

Расстояние, которое проехал мотоциклист за 0,5 часа: \( S_{мото} = v_{мото} \times 0,5 = (v_{вел} + 28) \times 0,5 \) км.

Сумма расстояний, которые они проехали навстречу друг другу, равна общему расстоянию между поселком и станцией:

\( S_{вел} + S_{мото} = 32 \)

\( v_{вел} + (v_{вел} + 28) \times 0,5 = 32 \)

\( v_{вел} + 0,5v_{вел} + 14 = 32 \)

\( 1,5v_{вел} = 32 - 14 \)

\( 1,5v_{вел} = 18 \)

\( v_{вел} = \frac{18}{1,5} = \frac{180}{15} = 12 \) км/ч.

Найдем скорость мотоциклиста:

\( v_{мото} = v_{вел} + 28 = 12 + 28 = 40 \) км/ч.

Ответ: Скорость велосипедиста — 12 км/ч, скорость мотоциклиста — 40 км/ч.