Вариант 2. 1. В параллелограмме ABCD сторона CD = 3 см, диагонали равны 7 см и 4 см. Найдите периметр треугольника AOB. 2. Найдите углы ромба ABCD, если ∠ACB = 36°. 3. В прямоугольнике ABCD ∠ACD = 32°. Найдите углы треугольника AOD, где O — точка пересечения диагоналей. 4. В параллелограмме ABCD точки M и K делят диагональ AC на три равных отрезка: AM = MK = KC. Докажите, что BKDM — параллелограмм.

1. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому AO и BO равны половинам диагоналей: AO = 3,5 см, BO = 2 см. Противоположные стороны параллелограмма равны, значит AB = CD = 3 см.

Периметр треугольника AOB: 3,5 + 2 + 3 = 8,5 см.

Ответ: 8,5 см.

2. В ромбе диагональ AC делит угол A пополам, поэтому ∠A = 2 · ∠ACB = 72°. Соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°, а противоположные равны: ∠B = ∠D = 108°, ∠C = 72°.

Ответ: ∠A = ∠C = 72°, ∠B = ∠D = 108°.

3. В прямоугольнике ∠ADC = 90°. В треугольнике ACD сумма углов равна 180°, поэтому ∠CAD = 180° − 90° − 32° = 58°.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, OA = OD. Треугольник AOD равнобедренный, а ∠OAD = ∠CAD = 58°. Поэтому ∠ADO = 58°, а ∠AOD = 180° − 58° − 58° = 64°.

Ответ: ∠OAD = ∠ADO = 58°, ∠AOD = 64°.

4. Рассмотрим четырёхугольник BKDM. Его диагонали — BD и KM. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются и делятся пополам, поэтому точка O — середина BD.

Так как AM = MK = KC, точки M и K расположены на AC на расстояниях одной и двух третей от A. Середина отрезка MK совпадает с серединой AC, то есть с O. Значит, O — также середина KM.

Диагонали BKDM делятся точкой O пополам. Следовательно, BKDM — параллелограмм.